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データの活用の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学データの活用

10 人の生徒に、ある日の読書時間を調べたところ、次のようになった。
$25, 40, 15, 30, 40, 20, 35, 10, 40, a (単位は分)$
ここで $a$ は正の整数である。10 人の読書時間の平均値が $29$ 分であるとき、10 人の読書時間の中央値と最頻値をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

平均値・中央値・最頻値（説明と入口の問題）
代表値や四分位数の条件から未知のデータを求める（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず平均値から 10 人の合計を求め、 $a$ の値を決めよう。

ヒント 2

（合計） $=$ （平均値） $\times$ （人数）なので、合計は $29 \times 10 = 290$ 分。 $a$ がわかったら、データを小さい順に並べよう。

ヒント 3

$a = 35$ となる。小さい順に並べると $10, 15, 20, 25, 30, 35, 35, 40, 40, 40$ 。データが 10 個のときの中央値は、何番目と何番目の値の平均かを考えよう。

答えと解説

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(\frac{65}{2}, 40)

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解説を読む

平均値が $29$ 分なので、10 人の読書時間の合計は
$29 \times 10 = 290 (分)$
である。 $a$ 以外の 9 人の合計は
$25 + 40 + 15 + 30 + 40 + 20 + 35 + 10 + 40 = 255$
なので、
$a = 290 - 255 = 35$
となる。

データを小さい順に並べると
$10, 15, 20, 25, 30, 35, 35, 40, 40, 40$
となる。データの個数は 10 個（偶数）なので、中央値は 5 番目と 6 番目の値の平均で
$\frac{30 + 35}{2} = \frac{65}{2} = 32.5 (分)$
である。

また、最も多く現れる値は $40$ （3 回）で、 $35$ は 2 回なので、最頻値は $40$ 分である。

よって、中央値は $\frac{65}{2}$ 分、最頻値は $40$ 分である。

別解

$a$ 以外の 9 個の合計は $25 + 40 + 15 + 30 + 40 + 20 + 35 + 10 + 40 = 255$ 。10 人の平均が $29$ 分なので、合計は $29 \times 10 = 290$ 。よって $a = 290 - 255 = 35$ 。

10 個のデータを小さい順に並べると $10, 15, 20, 25, 30, 35, 35, 40, 40, 40$ 。

【中央値】5 番目の $30$ と 6 番目の $35$ の平均で、 $\frac{30 + 35}{2} = \frac{65}{2}$ （ $32.5$ ）分。

【最頻値】 $40$ が 3 回で最も多いので $40$ 分。（ $35$ は 2 回）

【検算】合計 $10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 35 + 40 + 40 + 40 = 290$ 、 $290 \div 10 = 29$ で平均と一致する。

答え（中央値，最頻値） $= (\frac{65}{2}, 40)$

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