データの活用の問題

$x$ 以外の $8$ 個の値を小さい順に並べると
$$3,5,6,7,8,10,12,14$$
である。データは全部で $9$ 個なので、中央値は小さい順に $5$ 番目の値である。

中央値の条件

$x<8$ のとき、$8$ より小さい値が $3,5,6,7,x$ の $5$ 個になるので、$5$ 番目の値は $8$ より小さくなり、条件に合わない。
$x\geqq 8$ のとき、小さい順に $3,5,6,7,8,\cdots$ となり、$5$ 番目の値は $8$ で条件に合う。
よって、$x\geqq 8$ である。

第 $1$ 四分位数

中央値 $8$ を除いた前半の $4$ 個は $3,5,6,7$ なので、第 $1$ 四分位数は
$$\frac{5+6}{2}=5.5$$

第 $3$ 四分位数

四分位範囲が $6$ なので、第 $3$ 四分位数は $5.5+6=11.5$ である。
後半の $4$ 個は $10,12,14,x$ である。
- $8\leqq x\leqq 10$ のとき、小さい順に $x,10,12,14$ となり、第 $3$ 四分位数は $\frac{10+12}{2}=11$ で、条件に合わない。
- $x\geqq 14$ のとき、小さい順に $10,12,14,x$ となり、第 $3$ 四分位数は $\frac{12+14}{2}=13$ で、条件に合わない。
- $10<x<14$ のとき、後半を小さい順に並べた $2$ 番目と $3$ 番目は $x$ と $12$ なので、第 $3$ 四分位数は $\frac{x+12}{2}$ である。
$$\frac{x+12}{2}=11.5$$
$$x+12=23$$
$$x=11$$
これは $10<x<14$ を満たす。

確かめ

$x=11$ のとき、小さい順に $3,5,6,7,8,10,11,12,14$。中央値は $8$、第 $1$ 四分位数は $5.5$、第 $3$ 四分位数は $\frac{11+12}{2}=11.5$ で、四分位範囲は $11.5-5.5=6$ となり、条件に合う。

よって、$x=11$ である。

9 人のデータの中央値は小さい順の 5 番目、四分位数は中央値を除いた前半 4 個・後半 4 個それぞれの中央値である。

まず、$x$ 以外の 8 個を小さい順に並べると $3,5,6,7,8,10,12,14$ である。

【中央値の条件】$x\le 7$ のとき、小さい順の 5 番目は $7$ になり、$8$ にならない。$x\ge 8$ のとき、小さい順は $3,5,6,7,8,\cdots$ となり 5 番目は $8$（$x=8$ のときも $8$）になる。よって $x\ge 8$ である。

【第 1 四分位数】前半 4 個は $3,5,6,7$ なので、第 1 四分位数は $\frac{5+6}{2}=5.5$。

【第 3 四分位数】四分位範囲が $6$ なので、第 3 四分位数は $5.5+6=11.5$ でなければならない。後半 4 個は $10,12,14$ と $x$（$x=8$ のときは $8,10,12,14$）である。
- $x=8$：後半は $8,10,12,14$ で第 3 四分位数は $11$。不適。
- $8<x\le 10$：後半は $x,10,12,14$ で第 3 四分位数は $\frac{10+12}{2}=11$。不適。
- $10\le x\le 12$：後半は $10,x,12,14$ で第 3 四分位数は $\frac{x+12}{2}$。これが $11.5$ なので $x=11$。この範囲に入るので適する。
- $12\le x\le 14$：後半は $10,12,x,14$ で第 3 四分位数は $\frac{12+x}{2}$ だが、$11.5$ なら $x=11$ となり範囲に合わない。不適。
- $x\ge 14$：後半は $10,12,14,x$ で第 3 四分位数は $\frac{12+14}{2}=13$。不適。

【検算】$x=11$ のとき小さい順は $3,5,6,7,8,10,11,12,14$。中央値は 5 番目の $8$、第 1 四分位数は $\frac{5+6}{2}=5.5$、第 3 四分位数は $\frac{11+12}{2}=11.5$、四分位範囲は $11.5-5.5=6$。条件を満たす。

答え $x=11$