データの活用の問題

人数の条件

人数の合計が $25$ 人なので
$$2+a+4+b+c+3=25$$
$$a+b+c=16(1)$$

平均値の条件

平均値が $3.0$ 点なので、得点の合計は $3.0\times 25=75$（点）である。
$$0\times 2+1\times a+2\times 4+3\times b+4\times c+5\times 3=75$$
$$a+3b+4c+23=75$$
$$a+3b+4c=52(2)$$

$(2)-(1)$ より
$$2b+3c=36(3)$$

$(3)$ より $3c=36-2b$ は偶数なので、$c$ は偶数である。$(1)$ から $a=16-b-c\geqq 0$ も必要である。$c$ を $0,2,4,\dots$ と順に調べると、

$a\geqq 0$ となるのは $(a,b,c)=(0,12,4),(1,9,6),(2,6,8),(3,3,10),(4,0,12)$ の 5 通りである（$c\geqq 14$ では $b<0$ となる）。

中央値の条件

$25$ 人なので、中央値は得点の低い方から $13$ 番目の生徒の得点である。これが $3$ 点であるためには、

• $2$ 点以下の人数 $2+a+4=6+a$ が $12$ 人以下
• $3$ 点以下の人数 $6+a+b$ が $13$ 人以上

であればよい。5 通りについて調べると、

• $(0,12,4)$: $6$ 人、$18$ 人 → 適する
• $(1,9,6)$: $7$ 人、$16$ 人 → 適する
• $(2,6,8)$: $8$ 人、$14$ 人 → 適する
• $(3,3,10)$: $9$ 人、$12$ 人 → $13$ 番目は $4$ 点なので適さない
• $(4,0,12)$: $10$ 人、$10$ 人 → 適さない

最頻値の条件

最頻値がただ 1 つで $4$ 点であるためには、$4$ 点の人数 $c$ がほかのどの得点の人数よりも多くなければならない。

• $(0,12,4)$: $3$ 点が $12$ 人で最も多いので適さない
• $(1,9,6)$: $3$ 点が $9$ 人で最も多いので適さない
• $(2,6,8)$: $4$ 点が $8$ 人で、ほかの人数 $2,2,4,6,3$ のどれよりも多いので適する

よって $(a,b,c)=(2,6,8)$ であり、$b=6$ である。

（確かめ）人数の合計は $2+2+4+6+8+3=25$、得点の合計は $0+2+8+18+32+15=75$ で平均値 $3.0$ 点、$2$ 点以下が $8$ 人、$3$ 点以下が $14$ 人なので中央値は $3$ 点、最頻値は $4$ 点となり、すべての条件を満たす。

人数の合計より $2+a+4+b+c+3=25$ なので $a+b+c=16$ …①。

平均値が 3.0 点なので得点の合計は $3.0\times 25=75$。$0\times 2+1\times a+2\times 4+3b+4c+5\times 3=75$ より $a+3b+4c=52$ …②。

②$-$① より $2b+3c=36$ …③。

最頻値が 4 点ただ 1 つなので、4 点の人数 $c$ は他のどの得点の人数よりも多い。5 点は 3 人、2 点は 4 人なので $c\ge 5$、かつ $c>a$、$c>b$。

③より $3c$ は偶数なので $c$ は偶数。$c=6$ のとき $b=9$ で $c>b$ に反する。$c=8$ のとき $b=6$、①より $a=2$。$c=10$ のとき $b=3$、$a=3$。$c=12$ のとき $b=0$、$a=4$。

中央値は 13 番目の値で 3 点なので、2 点以下の人数が 12 人以下、3 点以下の人数が 13 人以上。
- $c=8$：2 点以下は $2+2+4=8$ 人、3 点以下は $8+6=14$ 人。条件に合う。
- $c=10$：2 点以下は $2+3+4=9$ 人、3 点以下は $9+3=12$ 人で 13 人に満たない。不適。
- $c=12$：3 点以下は $2+4+4+0=10$ 人で不適。

よって $a=2$、$b=6$、$c=8$ で、$b=6$。

検算：合計 $2+2+4+6+8+3=25$ 人、得点の合計 $0+2+8+18+32+15=75$、平均 3.0 点。最頻値 4 点（8 人）、中央値は 13 番目が 3 点。すべて満たす。