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データの活用の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学データの活用

$8$ 人の生徒が $30$ 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 点以上 $30$ 点以下の整数で、 $8$ 人の得点は次のとおりである。
$13, 3, 20, 8, x, 15, 6, 11 (単位は点)$
このデータについて、次の $2$ つのことがわかっている。

四分位範囲は $9$ 点である。
平均値は中央値より大きい。

このとき、 $x$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

代表値や四分位数の条件から未知のデータを求める（説明と入口の問題）
四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）
平均値・中央値・最頻値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x$ 以外の $7$ 個を小さい順に並べ、 $x$ が何番目に入るかで場合分けしよう。 $8$ 個のデータでは、第 $1$ 四分位数は $2$ 番目と $3$ 番目の平均、第 $3$ 四分位数は $6$ 番目と $7$ 番目の平均である。

ヒント 2

$x$ が小さい側（ $3 ≦ x ≦ 8$ ）にあると四分位範囲は $\frac{22 - x}{2}$ 、大きい側（ $13 ≦ x ≦ 20$ ）にあると $\frac{x + 1}{2}$ になる。

ヒント 3

四分位範囲が $9$ 点になる $x$ の候補は $2$ つある。それぞれについて、平均値と中央値を計算して比べよう。

答えと解説

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4

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解説を読む

$x$ 以外の $7$ 人の得点を小さい順に並べると
$3, 6, 8, 11, 13, 15, 20$
である。データは $8$ 個なので、小さい順に並べたとき、第 $1$ 四分位数は $2$ 番目と $3$ 番目の平均、第 $3$ 四分位数は $6$ 番目と $7$ 番目の平均、中央値は $4$ 番目と $5$ 番目の平均である。

四分位範囲を $x$ の範囲で場合分けする

(i) $x ≦ 3$ のとき: 第 $1$ 四分位数は $\frac{3 + 6}{2} = 4.5$ 、第 $3$ 四分位数は $\frac{13 + 15}{2} = 14$ で、四分位範囲は $9.5$ 点。

(ii) $3 ≦ x ≦ 8$ のとき: $x$ は $2$ 番目または $3$ 番目になり、第 $1$ 四分位数は $\frac{6 + x}{2}$ 、第 $3$ 四分位数は $14$ 。四分位範囲は
$14 - \frac{6 + x}{2} = \frac{22 - x}{2}$
これが $9$ になるのは $22 - x = 18$ 、つまり $x = 4$ のときで、 $3 ≦ 4 ≦ 8$ を満たす。

(iii) $8 ≦ x ≦ 13$ のとき: 第 $1$ 四分位数は $\frac{6 + 8}{2} = 7$ 、第 $3$ 四分位数は $\frac{13 + 15}{2} = 14$ で、四分位範囲は $7$ 点。

(iv) $13 ≦ x ≦ 20$ のとき: $x$ は $6$ 番目または $7$ 番目になり、第 $1$ 四分位数は $7$ 、第 $3$ 四分位数は $\frac{15 + x}{2}$ 。四分位範囲は
$\frac{15 + x}{2} - 7 = \frac{x + 1}{2}$
これが $9$ になるのは $x + 1 = 18$ 、つまり $x = 17$ のときで、 $13 ≦ 17 ≦ 20$ を満たす。

(v) $x ≧ 20$ のとき: 第 $1$ 四分位数は $7$ 、第 $3$ 四分位数は $\frac{15 + 20}{2} = 17.5$ で、四分位範囲は $10.5$ 点。

よって、四分位範囲が $9$ 点になるのは $x = 4$ または $x = 17$ のときである。

平均値と中央値を比べる
$x$ 以外の $7$ 人の得点の合計は $3 + 6 + 8 + 11 + 13 + 15 + 20 = 76$ 点。

$x = 4$ のとき: データは $3, 4, 6, 8, 11, 13, 15, 20$ 。中央値は $\frac{8 + 11}{2} = 9.5$ 点、平均値は $\frac{76 + 4}{8} = 10$ 点。平均値のほうが大きいので条件を満たす。
$x = 17$ のとき: データは $3, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 20$ 。中央値は $\frac{11 + 13}{2} = 12$ 点、平均値は $\frac{76 + 17}{8} = 11.625$ 点。平均値のほうが小さいので条件を満たさない。

したがって、 $x = 4$ である。

別解

x 以外の 7 個を小さい順に並べると 3, 6, 8, 11, 13, 15, 20 です。x を入れた 8 個のデータは、小さい順に並べた前半 4 個と後半 4 個に分け、第 1 四分位数 $Q_{1}$ は前半の中央値（2 番目と 3 番目の平均）、第 3 四分位数 $Q_{3}$ は後半の中央値（6 番目と 7 番目の平均）です。四分位範囲は $Q_{3} - Q_{1} = 9$ です。

x の位置で場合分けします。

(1) $x \leq 3$ ：並びは x, 3, 6, 8, 11, 13, 15, 20。 $Q_{1} = (3 + 6) /2 = 4.5$ 、 $Q_{3} = (13 + 15) /2 = 14$ で範囲は 9.5。不適。

(2) $3 \leq x \leq 6$ ：並びは 3, x, 6, 8, 11, 13, 15, 20。 $Q_{1} = (x + 6) /2$ 、 $Q_{3} = 14$ 。 $14 - (x + 6) /2 = 9$ より $(x + 6) /2 = 5$ 、 $x = 4$ 。範囲に合う。

(3) $6 \leq x \leq 8$ ： $Q_{1} = (6 + x) /2$ 、 $Q_{3} = 14$ より $x = 4$ となり範囲に合わない。

(4) $8 \leq x \leq 13$ ： $Q_{1} = (6 + 8) /2 = 7$ 、 $Q_{3} = 14$ で範囲は 7。不適。

(5) $13 \leq x \leq 15$ ： $Q_{1} = 7$ 、 $Q_{3} = (x + 15) /2$ 。 $(x + 15) /2 = 16$ より $x = 17$ で範囲に合わない。

(6) $15 \leq x \leq 20$ ： $Q_{1} = 7$ 、 $Q_{3} = (15 + x) /2 = 16$ より $x = 17$ 。範囲に合う。

(7) $x \geq 20$ ： $Q_{3} = (15 + 20) /2 = 17.5$ で範囲は 10.5。不適。

候補は $x = 4$ と $x = 17$ です。

・ $x = 4$ ：合計は $76 + 4 = 80$ 、平均値は 10 点。小さい順は 3, 4, 6, 8, 11, 13, 15, 20 で中央値は $(8 + 11) /2 = 9.5$ 点。平均値 10 > 中央値 9.5 で条件に合う。
・ $x = 17$ ：合計は $76 + 17 = 93$ 、平均値は $93/8 = 11.625$ 点。小さい順は 3, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 20 で中央値は $(11 + 13) /2 = 12$ 点。平均値 < 中央値で条件に合わない。

よって $x = 4$ 。検算： $x = 4$ のとき $Q_{1} = (4 + 6) /2 = 5$ 、 $Q_{3} = (13 + 15) /2 = 14$ 、範囲 $14 - 5 = 9$ で一致。

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