高分子化合物の問題

分子量と性質

グルコース ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_{12}{\mathrm{O}}_6$ の分子量は $180$、マルトースとスクロース ${\mathrm{C}}_{12}{\mathrm{H}}_{22}{\mathrm{O}}_{11}$ の分子量は $342$、$\mathrm{C}{\mathrm{u}}_2\mathrm{O}$ の式量は $63.5\times 2+16=143$。

• グルコースとマルトースは還元性をもつ（フェーリング液を還元する）。スクロースは還元性をもたない。
• 加水分解: マルトース $\to$ グルコース 2 分子、スクロース $\to$ グルコース ＋ フルクトース。生じた単糖はすべて還元性をもつ。

もとの混合物中のグルコース、マルトース、スクロースの物質量をそれぞれ $g$, $m$, $s$ [mol] とする。各実験は X の半分ずつを使っている。

式を立てる

質量:
$$180g+342m+342s=8.64(1)$$
実験 1（還元性をもつのはグルコースとマルトース）: $\mathrm{C}{\mathrm{u}}_2\mathrm{O}$ は $\frac{1.43}{143}=0.0100\mathrm{mol}$ なので
$$\frac{g+m}{2}=0.0100⟹g+m=0.0200(2)$$
実験 2（加水分解後の単糖はすべて還元性）: 単糖は $g+2m+2s$ [mol] の半分で、$\mathrm{C}{\mathrm{u}}_2\mathrm{O}$ は $\frac{3.575}{143}=0.0250\mathrm{mol}$ なので
$$\frac{g+2m+2s}{2}=0.0250⟹g+2m+2s=0.0500(3)$$

解く

$(3)-(2)$ より $m+2s=0.0300$、すなわち $m=0.0300-2s$。$(2)$ より $g=0.0200-m=2s-0.0100$。これらを $(1)$ に代入すると
$$180(2s-0.0100)+342(0.0300-2s)+342s=8.64$$
$$360s-1.80+10.26-684s+342s=8.64$$
$$18s+8.46=8.64s=0.0100\mathrm{mol}$$
（このとき $m=0.0100$, $g=0.0100$ で、すべて正であり条件に合う。）

スクロースの質量は
$$342\times 0.0100=3.42\mathrm{g}\approx 3.4\mathrm{g}$$

$\mathrm{C}{\mathrm{u}}_2\mathrm{O}$ の式量は $63.5\times 2+16=143$。グルコース ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_{12}{\mathrm{O}}_6$ は $180$、マルトース・スクロース ${\mathrm{C}}_{12}{\mathrm{H}}_{22}{\mathrm{O}}_{11}$ は $342$。
水溶液 X の半分（混合物 $4.32\mathrm{g}$）に含まれるグルコース・マルトース・スクロースを $g,m,s\mathrm{mol}$ とする。
実験 1: 還元性があるのはグルコースとマルトース（スクロースは還元性なし）。$g+m=\frac{1.43}{143}=0.010$ …①
実験 2: 加水分解後、マルトース 1 mol はグルコース 2 mol、スクロース 1 mol はグルコース 1 mol + フルクトース 1 mol（どちらも還元性）となる。還元性の単糖は $g+2m+2s=\frac{3.575}{143}=0.025$ …②
質量: $180g+342m+342s=4.32$ …③
②−① より $m+2s=0.015$。①より $g=0.010-m$ を③に代入: $1.8-180m+342m+342s=4.32$、$162m+342s=2.52$、$9m+19s=0.14$。$m=0.015-2s$ を代入して $0.135-18s+19s=0.14$、$s=0.0050$。このとき $m=0.0050$、$g=0.0050$。
検算: ③ $180\times 0.005+342\times 0.005+342\times 0.005=0.9+1.71+1.71=4.32$、② $0.005+0.010+0.010=0.025$。
もとの混合物（X 全体）のスクロースは $0.0050\times 2=0.010\mathrm{mol}$、質量は $0.010\times 342=3.42\approx 3.4\mathrm{g}$。