暗号理論の問題

受信者は素数 $p=11$, $q=19$ を選び、$n=pq=209$ と暗号化指数 $e=7$ を公開鍵として公開した。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 208$ を満たす整数）を
$$c\equiv m^e(\mathrm{mod}n),0\le c\le 208$$
によって暗号化し、暗号文 $c=68$ を受信者に送った。

受信者は秘密鍵の復号指数 $d$ を $ed\equiv 1(\mathrm{mod}(p-1)(q-1))$, $1\le d\le (p-1)(q-1)-1$ を満たす整数として求め、$m\equiv c^d(\mathrm{mod}n)$ により復号する。平文 $m$ を求めよ。

RSA 暗号の受信者は、相異なる素数 $p,q$ を選んで $n=pq$ とし、公開鍵 $(n,e)=(437,5)$ を公開した。秘密鍵の復号指数 $d$ は
$$ed\equiv 1(\mathrm{mod}\phi (n)),1\le d<\phi (n)$$
を満たす整数である。ここで $\phi (n)=(p-1)(q-1)$ である。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 436$ を満たす整数）を $c\equiv m^e(\mathrm{mod}n)$（$0\le c\le 436$）によって暗号化して送る。

いま攻撃者は、$p,q$ そのものは知らないが、$\phi (n)=396$ であることを知った。さらに暗号文 $c=98$ を傍受した。この暗号文に対応する平文 $m$ を求めよ。

素数 $p=89$ と、法 $89$ の原始根 $g=3$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の公開鍵は $h=42$ である（秘密鍵 $x$ は $h\equiv g^x(\mathrm{mod}89)$ を満たす。$x$ は公開されていない）。

平文 $m$（$1\le m\le 88$ の整数）を暗号化するとき、送信者は整数 $k$ を選び、
$$c_1\equiv g^k(\mathrm{mod}89),c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}89)(0\le c_1,c_2\le 88)$$
として暗号文 $(c_1,c_2)$ を送る。

ある送信者が、本来は毎回選び直すべき $k$ を使い回して、2 つの平文 $m_1,m_2$ を同じ $k$ で暗号化した。得られた暗号文は
$$m_1\text{の暗号文}:(51,11),m_2\text{の暗号文}:(51,7)$$
である。攻撃者は何らかの方法で $m_1=20$ であることを知った。秘密鍵 $x$ を求めずに、平文 $m_2$（$1\le m_2\le 88$ の整数）を求めよ。

素数 $p=59$ と、法 $59$ の原始根 $g=2$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の公開鍵は $h=40$ である。秘密鍵 $x$ は $h\equiv g^x(\mathrm{mod}59)$ を満たすが、公開されていない。

送信者は平文 $m$（$1\le m\le 58$ を満たす整数）を暗号化するとき、一時鍵 $k$ を選び、
$$c_1\equiv g^k(\mathrm{mod}59),c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}59)(0\le c_1,c_2\le 58)$$
として暗号文 $(c_1,c_2)$ を送る。

ある送信者が、本来は毎回取り替えるべき一時鍵 $k$ を、2 つの平文 $m_1$, $m_2$ の暗号化に同じ値のまま使ってしまった。その結果、送られた暗号文は次の 2 つである。
$$(c_1,c_2)=(28,56),(c_1^{\prime },c_2^{\prime })=(28,43)$$
攻撃者は、1 つ目の暗号文の平文が $m_1=23$ であることを知っている。このとき、2 つ目の暗号文の平文 $m_2$（$1\le m_2\le 58$）を求めよ。

受信者は素数 $p=5$, $q=11$ を選び、$n=pq=55$ と暗号化指数 $e=3$ を公開鍵として公開した。秘密鍵の復号指数 $d$ は
$$ed\equiv 1(\mathrm{mod}(p-1)(q-1)),1\le d\le (p-1)(q-1)-1$$
を満たす整数とする。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 54$ を満たす整数）を $c\equiv m^e(\mathrm{mod}n)$（$0\le c\le 54$）により暗号化し、暗号文 $c=13$ を送った。受信者が $m\equiv c^d(\mathrm{mod}n)$ により復号して得る平文 $m$ を求めよ。