暗号理論の問題

受信者は素数 $p=7$, $q=13$ を選び、$n=pq=91$ とした。暗号化指数を $e=5$ とし、公開鍵 $(n,e)=(91,5)$ を公開した。復号指数 $d$ は
$$ed\equiv 1(\mathrm{mod}(p-1)(q-1)),1\le d\le (p-1)(q-1)-1$$
を満たす整数である。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 90$ を満たす整数）を $c\equiv m^e(\mathrm{mod}n)$（$0\le c\le 90$）で暗号化し、暗号文 $c=82$ を送った。受信者が $m\equiv c^d(\mathrm{mod}n)$ で復号して得る平文 $m$ を求めよ。

受信者は素数 $p=11$, $q=19$ を選び、$n=pq=209$ と暗号化指数 $e=7$ を公開鍵として公開した。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 208$ を満たす整数）を
$$c\equiv m^e(\mathrm{mod}n),0\le c\le 208$$
によって暗号化し、暗号文 $c=68$ を受信者に送った。

受信者は秘密鍵の復号指数 $d$ を $ed\equiv 1(\mathrm{mod}(p-1)(q-1))$, $1\le d\le (p-1)(q-1)-1$ を満たす整数として求め、$m\equiv c^d(\mathrm{mod}n)$ により復号する。平文 $m$ を求めよ。

RSA 暗号の受信者は、相異なる素数 $p,q$ を選んで $n=pq$ とし、公開鍵 $(n,e)=(437,5)$ を公開した。秘密鍵の復号指数 $d$ は
$$ed\equiv 1(\mathrm{mod}\phi (n)),1\le d<\phi (n)$$
を満たす整数である。ここで $\phi (n)=(p-1)(q-1)$ である。送信者は平文 $m$（$0\le m\le 436$ を満たす整数）を $c\equiv m^e(\mathrm{mod}n)$（$0\le c\le 436$）によって暗号化して送る。

いま攻撃者は、$p,q$ そのものは知らないが、$\phi (n)=396$ であることを知った。さらに暗号文 $c=98$ を傍受した。この暗号文に対応する平文 $m$ を求めよ。

素数 $p=43$ と、法 $43$ の原始根 $g=3$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の秘密鍵は $x=5$ であり、公開鍵 $h\equiv g^x(\mathrm{mod}43)$ を公開している。送信者は平文 $m$（$1\le m\le 42$ の整数）を、ある整数 $k$ を用いて
$$c_1\equiv g^k,c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}43)(0\le c_1,c_2\le 42)$$
と暗号化し、暗号文 $(c_1,c_2)=(38,22)$ を受信者に送った。受信者が秘密鍵 $x=5$ を用いて復号して得る平文 $m$ を求めよ。

素数 $p=47$ と、法 $47$ の原始根 $g=5$ を公開パラメータとするエルガマル暗号を考える。受信者の秘密鍵は $x=6$ で、公開鍵は $h\equiv g^x(\mathrm{mod}47)$ である。送信者は平文 $m$（$1\le m\le 46$ の整数）を、ある整数 $k$ を用いて
$$c_1\equiv g^k,c_2\equiv m{h}^k(\mathrm{mod}47)$$
と暗号化し、暗号文 $(c_1,c_2)=(31,40)$ を送った。受信者が秘密鍵を用いて復号したときの平文 $m$ を求めよ。