有機化学の問題

トルエンからトリフェニルメタノールを、次の 3 段階の反応と 1 回の精製で合成する。

• 第 1 段階：トルエンを $\mathrm{KMn}{\mathrm{O}}_4$ で酸化して安息香酸を得る（収率 $80\%$）。
• 第 2 段階：安息香酸をメタノールと酸触媒でエステル化して安息香酸メチルを得る（収率 $90\%$）。
• 第 3 段階：安息香酸メチルに過剰量のフェニルマグネシウムブロミド ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{MgBr}$ を反応させたのち加水分解して、粗トリフェニルメタノールを得る（収率 $75\%$）。
• 精製：粗生成物を再結晶する（回収率 $80\%$）。

各段階の収率は、その段階の有機原料（第 1 段階はトルエン、第 2 段階は安息香酸、第 3 段階は安息香酸メチル）の物質量を基準とした値であり、各段階の生成物はすべて次の段階に用いるものとする。また、再結晶の回収率は、粗トリフェニルメタノールのうち純粋な結晶として得られる物質量の割合である。

精製したトリフェニルメタノールを $26.0\mathrm{g}$ 得るために必要なトルエンの質量は何 g か。トルエンのモル質量を $92.14\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、トリフェニルメタノールのモル質量を $260.33\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ とし、有効数字 3 桁で求めよ。

原料 $\mathrm{A}$ から、物質量比 $1:1$ で目的物 $\mathrm{P}$ ができる反応がある。1 回の反応操作では、仕込んだ $\mathrm{A}$ のうち $50\%$ が反応し（転化率 $50\%$）、反応した $\mathrm{A}$ のうち $80\%$ が $\mathrm{P}$ になり（選択率 $80\%$）、残りは副生成物になる。反応しなかった $\mathrm{A}$ はその $90\%$ が回収され（回収率 $90\%$）、回収した $\mathrm{A}$ はすべて次の反応操作に仕込む。回収されなかった $\mathrm{A}$ は失われる。

この「反応・回収・再使用」を限りなく繰り返すとき、最初に仕込んだ $\mathrm{A}$ の物質量に対する、得られる $\mathrm{P}$ の物質量の合計の比（実質的な収率）を分数で求めよ。ただし、各回の転化率・選択率・回収率は仕込んだ量によらず一定とする。

ある溶媒中で、フェノール ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}$ とナトリウムエトキシド ${\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_5\mathrm{ONa}$ を同じ物質量ずつ混ぜたところ、次の酸塩基平衡が成り立った。
$${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}^{-}\rightleftarrows {\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}^{-}+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}$$
この溶媒中での $\mathrm{p}{K}_{\mathrm{a}}$ は、フェノールが $10.0$、エタノールが $16.0$ とみなせるものとする。はじめにエタノールは存在せず、この平衡以外の反応は起こらないものとし、活量係数はすべて $1$ とする。また、ナトリウムエトキシドは完全に電離しているものとする。

平衡に達したとき、未反応のまま残っているフェノール ${\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5\mathrm{OH}$ の物質量は、はじめに加えたフェノールの物質量の何倍か。正確な値を分数で求めよ。

炭素原子 5 個の $2p$ 軌道が共役した π 電子系について、単純ヒュッケル法（重なり積分を 0 とし、隣り合う原子間の共鳴積分だけを $\beta$ とする。$\alpha$ はクーロン積分で、$\alpha <0$, $\beta <0$）で考える。

5 個の炭素が平面の正五角形の環をつくる場合（シクロペンタジエニルイオン ${\mathrm{C}}_5{\mathrm{H}}_5^{\pm }$）の π 分子軌道のエネルギーは
$$E_k=\alpha +2\beta \cos \frac{2\pi k}{5}(k=0,\pm 1,\pm 2)$$
であり、5 個の炭素が鎖状につながる場合（ペンタジエニルイオン ${\mathrm{C}}_5{\mathrm{H}}_7^{\pm }$）の π 分子軌道のエネルギーは
$$E_j=\alpha +2\beta \cos \frac{j\pi }{6}(j=1,2,3,4,5)$$
である。必要なら $\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$, $\cos \frac{4\pi }{5}=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ を用いよ。

環状のシクロペンタジエニルカチオン ${\mathrm{C}}_5{\mathrm{H}}_5^{+}$ とシクロペンタジエニルアニオン ${\mathrm{C}}_5{\mathrm{H}}_5^{-}$ のうち、π 電子の数がヒュッケル則（$4n+2$ 則）を満たす方を選ぶ。その化学種と同じ π 電子数をもつ鎖状のペンタジエニルイオンとを比べ、π 電子エネルギー（占有された π 軌道のエネルギーにその軌道の電子数を掛けた和）の差を
$$\Delta E=E_{\pi }(\text{環状})-E_{\pi }(\text{鎖状})=x\beta$$
と表すとき、$x$ を正確な値で求めよ。ただし、電子はエネルギーの低い軌道から順に、1 つの軌道に 2 個ずつ入るものとする。

化合物 A（モル質量 $100g/mol$）から、次の 3 段階の反応で化合物 D（モル質量 $150g/mol$）を合成する。
$$\mathrm{A}\stackrel{\text{段階 }1}{\to }\mathrm{B}\stackrel{\text{段階 }2}{\to }\mathrm{C}\stackrel{\text{段階 }3}{\to }\mathrm{D}$$
どの段階も、原料 1 mol から生成物が 1 mol できる反応式で表され、各段階の収率は段階 1 が $80\%$、段階 2 が $75\%$、段階 3 が $50\%$ である。ほかに必要な試薬は十分な量があるものとする。D を $9.0\mathrm{g}$ 得るために必要な A の質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。