統計熱力学の問題

ある分子は、次の 3 つのエネルギー準位だけをもつとする。

• 準位 0: エネルギー ${\epsilon }_0=0$、縮退度 $g_0=1$
• 準位 1: エネルギー ${\epsilon }_1=\epsilon$、縮退度 $g_1=2$
• 準位 2: エネルギー ${\epsilon }_2=2\epsilon$、縮退度 $g_2=1$

この分子の集団が温度 $T$ で熱平衡にあり、$\epsilon =k_{\mathrm{B}}T\log 2$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）が成り立っている。分子どうしの相互作用は無視できるものとする。分子分配関数 $q={\sum }_i{g}_i{e}^{-{\epsilon }_i/k_{\mathrm{B}}T}$ を用いて、準位 1 にある分子の割合を分数で求めよ。

気体の ${\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$ 分子の集団が温度 $T=300\mathrm{K}$ で熱平衡にある。すべての分子は振動の基底状態にあるとする。回転は剛体回転子とみなし、回転量子数 $J(J=0,1,2,\dots )$ の準位のエネルギーと縮退度を次のようにする。
$$E_J=hc\tilde{B}J(J+1),g_J=2J+1$$
ここで回転定数は $\tilde{B}=10.59\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。分子どうしの相互作用は無視し、回転準位の占有数はボルツマン分布に従うものとする。プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、光速 $c=2.998\times 10^{10}\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$、ボルツマン定数 $k=1.381\times 10^{-23}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$ を用いよ。

この温度で占有数が最大となる回転準位の回転量子数 $J$ を求めよ。

異核二原子分子の気体が温度 $T$ で熱平衡にある。この分子の回転は剛体回転子とみなせ、回転量子数 $J(J=0,1,2,\dots )$ の準位のエネルギーと縮退度は
$$E_J=hcBJ(J+1),g_J=2J+1$$
で与えられる。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は光速、$B(>0)$ は回転定数である。各準位の分子数はボルツマン分布に従うものとし、核スピンの影響は考えない。

この温度 $T$ では、$J=1$ の準位にある分子の数 $N_1$ と $J=3$ の準位にある分子の数 $N_3$ が等しかった。このとき、$J=2$ の準位にある分子の数 $N_2$ と $J=0$ の準位にある分子の数 $N_0$ の比 $N_2/N_0$ を求めよ。答えは正確な値（累乗を含む式）で答えよ。

ある異核二原子分子の気体が温度 $T=500\mathrm{K}$ で熱平衡にある。この分子を剛体回転子とみなす。回転準位のエネルギーは $E_J=hc\tilde{B}J(J+1)$、縮退度は $2J+1$ とする（$J=0,1,2,\dots$）。回転定数は $\tilde{B}=10.4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。

定数として、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、光速 $c=2.998\times 10^{10}\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$、ボルツマン定数 $k=1.381\times 10^{-23}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$ を用いよ。回転の分配関数には高温近似 $q_{\mathrm{rot}}=\frac{kT}{hc\tilde{B}}$ を用いよ。

分子の数が最も多い回転準位を考える。全分子のうち、この回転準位にある分子の割合を有効数字 3 桁で求めよ。

ある二原子分子の振動を調和振動子とみなす。振動準位のエネルギーは $E_v=h\nu \left(v+\frac{1}{2}\right)$（$v=0,1,2,\dots$）で、各準位は縮退していない。振動温度を ${\Theta }_{\mathrm{vib}}=\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）とする。

温度 $T$ において ${\Theta }_{\mathrm{vib}}=T\log 3$ が成り立っているとき、基底準位 $v=0$ のエネルギーを $0$ とする基準（零点エネルギーを差し引いた基準）での振動の分配関数
$$q_{\mathrm{vib}}=\sum _{v=0}^{\infty }{e}^{-vh\nu /k_{\mathrm{B}}T}$$
の値を分数で求めよ。