統計熱力学の問題

異核二原子分子の気体が温度 $T$ で熱平衡にある。この分子の回転は剛体回転子とみなせ、回転量子数 $J(J=0,1,2,\dots )$ の準位のエネルギーと縮退度は
$$E_J=hcBJ(J+1),g_J=2J+1$$
で与えられる。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は光速、$B(>0)$ は回転定数である。各準位の分子数はボルツマン分布に従うものとし、核スピンの影響は考えない。

この温度 $T$ では、$J=1$ の準位にある分子の数 $N_1$ と $J=3$ の準位にある分子の数 $N_3$ が等しかった。このとき、$J=2$ の準位にある分子の数 $N_2$ と $J=0$ の準位にある分子の数 $N_0$ の比 $N_2/N_0$ を求めよ。答えは正確な値（累乗を含む式）で答えよ。

ある異核二原子分子の気体が温度 $T=500\mathrm{K}$ で熱平衡にある。この分子を剛体回転子とみなす。回転準位のエネルギーは $E_J=hc\tilde{B}J(J+1)$、縮退度は $2J+1$ とする（$J=0,1,2,\dots$）。回転定数は $\tilde{B}=10.4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。

定数として、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、光速 $c=2.998\times 10^{10}\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$、ボルツマン定数 $k=1.381\times 10^{-23}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$ を用いよ。回転の分配関数には高温近似 $q_{\mathrm{rot}}=\frac{kT}{hc\tilde{B}}$ を用いよ。

分子の数が最も多い回転準位を考える。全分子のうち、この回転準位にある分子の割合を有効数字 3 桁で求めよ。

ある原子の集団が温度 $T=200\mathrm{K}$ で熱平衡にある。この原子には、縮退度 $g_0=1$ の基底準位と、そのエネルギーより $\Delta \epsilon =2.76\times 10^{-21}\mathrm{J}$ だけ高い縮退度 $g_1=3$ の励起準位がある。原子どうしの相互作用は無視でき、各準位の占有数はボルツマン分布に従うものとする。ボルツマン定数は $k_{\mathrm{B}}=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$ とする。励起準位にある原子の数 $N_1$ と基底準位にある原子の数 $N_0$ の比 $\frac{N_1}{N_0}$ を、自然対数の底 $e$ を用いた正確な値で求めよ。

ある分子は、次の 3 つのエネルギー準位だけをもつとする。

• 準位 0: エネルギー ${\epsilon }_0=0$、縮退度 $g_0=1$
• 準位 1: エネルギー ${\epsilon }_1=\epsilon$、縮退度 $g_1=2$
• 準位 2: エネルギー ${\epsilon }_2=2\epsilon$、縮退度 $g_2=1$

この分子の集団が温度 $T$ で熱平衡にあり、$\epsilon =k_{\mathrm{B}}T\log 2$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）が成り立っている。分子どうしの相互作用は無視できるものとする。分子分配関数 $q={\sum }_i{g}_i{e}^{-{\epsilon }_i/k_{\mathrm{B}}T}$ を用いて、準位 1 にある分子の割合を分数で求めよ。

等核二原子分子 X${}_2$ を剛体回転子とみなす。この分子の回転定数は $\tilde{B}=1.39\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、対称数は $\sigma =2$ である。温度 $T=300\mathrm{K}$ では高温近似が成り立つものとし、回転の分配関数を
$$q_{\mathrm{rot}}=\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\sigma hc\tilde{B}}$$
で計算する。ここで $\frac{k_{\mathrm{B}}}{hc}=0.695\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$h$ はプランク定数、$c$ は光速）とする。$T=300\mathrm{K}$ における $q_{\mathrm{rot}}$ を有効数字 3 桁で求めよ。