複数地点の観測からの地層の傾きの決定

露頭やボーリングで得た 2 地点以上の地層の高さから、傾斜方向に 1 m 進むごとの地層の高さの変化（傾きの割合）を求め、別の地点で地層に達する深さを求められる

前提

走向・傾斜と地層の深さ（高校地学地層と地球の歴史）

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算数中学高校大学大学院

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三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
走向・傾斜と地層の深さ（高校地学地層と地球の歴史）

説明

地層の走向や傾斜が分からなくても、いくつかの地点で同じ地層（かぎ層）の高さが分かれば、地層がどちら向きにどれだけ傾いているかを決められます。この技能では、露頭やボーリングで得た 2 地点以上の地層の標高から、東西・南北それぞれに 1 m 進むごとの地層の高さの変化（傾きの割合）を求め、それを使って別の地点で地層に達する深さを求めます。井戸やトンネルの計画で、目的の地層が地下何 m にあるかを見積もるときに使います。

なぜそうしてよいのか

地層の面が平らな平面で一定の向きに傾いているとき、東へ進むと地層の高さは東へ進んだ距離に比例して変わり、北へ進むと北へ進んだ距離に比例して変わります。東へ 1 m 進むごとの高さの変化を $a$ （m/m）、北へ 1 m 進むごとの変化を $b$ とすると、ある地点から東へ $x$ m、北へ $y$ m 進んだ地点では、地層の高さは $a x + b y$ だけ変わります。東へ進んでから北へ進んでも、北へ進んでから東へ進んでも同じ地点に着くので、変化はこのように足し合わせてよいのです（平面だからこそ成り立つ性質です）。

$a$ は「真東（または真西）に並んだ 2 地点」の地層の高さの差を東西の距離で割れば求まり、 $b$ は「真北（または真南）に並んだ 2 地点」から同じように求まります。これは前に学んだ $h = L tan θ$ の考え方で、 $a$ や $b$ はそれぞれの方向から見た傾きの割合です。どちらか一方が 0 なら、その方向が走向で、もう一方が傾斜方向です。両方とも 0 でないときは、傾斜方向は東西・南北の間の斜めの向きになり、その向きに 1 m 進むごとの変化は $a^{2} + b^{2}$ m になります。

地層の標高そのものは、地表の標高から地層までの深さを引いて $地層の標高 = 地表の標高 - 深さ$ と求めます。地点ごとに地表の高さが違うので、深さどうしではなく、必ず地層の標高どうしで比べます。

手順

各地点で、地層の標高 $=$ 地表の標高 $-$ 地層までの深さを求める
東西に並んだ 2 地点から、東へ 1 m 進むごとの地層の高さの変化 $a = \frac{東側の標高 - 西側の標高}{東西の距離}$ を求める
南北に並んだ 2 地点から、北へ 1 m 進むごとの変化 $b = \frac{北側の標高 - 南側の標高}{南北の距離}$ を求める
求めたい地点が基準の地点から東へ $x$ m、北へ $y$ m（西・南なら負）にあるとき、そこの地層の標高を $基準の地層の標高 + a x + b y$ で求める
深さ $=$ その地点の地表の標高 $-$ 地層の標高を求める

例題

ある地域で、平面状に一定の向きに傾いた凝灰岩層の上面の深さを 3 地点 A, B, C のボーリングで調べ、次の結果を得た。B は A の真東 200 m、C は A の真北 300 m にある。

地点	A からの位置	地表の標高	凝灰岩層の上面までの深さ
A	—	100 m	20 m
B	東へ 200 m	90 m	50 m
C	北へ 300 m	110 m	60 m

A から東へ 100 m、北へ 200 m 進んだ地点 D（地表の標高 95 m）で鉛直に掘ると、凝灰岩層の上面には地表から何 m の深さで達するか。整数で答えよ。

例題の解答

手順 1: 凝灰岩層の上面の標高は、A が $100 - 20 = 80$ m、B が $90 - 50 = 40$ m、C が $110 - 60 = 50$ m。

手順 2: A と B は東西に並ぶので $a = \frac{40 - 80}{200} = - 0.2$ 東へ 1 m 進むごとに地層は 0.2 m 下がる。

手順 3: A と C は南北に並ぶので $b = \frac{50 - 80}{300} = - 0.1$ 北へ 1 m 進むごとに地層は 0.1 m 下がる。

手順 4: D は A から東へ 100 m、北へ 200 m なので、地層の上面の標高は $80 + (- 0.2) \times 100 + (- 0.1) \times 200 = 80 - 20 - 20 = 40 m$

手順 5: 深さは $95 - 40 = 55$ m。

答え: $55$

よくある誤り

地層の標高ではなく深さどうしで傾きを求めてしまう誤り。A と B で $\frac{50 - 20}{200} = 0.15$ とするのは誤りで、地表の標高が違うので、正しくは地層の標高 80 m と 40 m から $a = \frac{40 - 80}{200} = - 0.2$
東西・南北の両方にずれた地点で、A と D の直線距離に一方の傾きを掛けてしまう誤り。 $10 0^{2} + 20 0^{2} \times 0.2$ のように計算するのは誤りで、正しくは東へのずれと北へのずれを分けて $(- 0.2) \times 100 + (- 0.1) \times 200$ と足し合わせる
傾きの符号を取り違える誤り。東へ進むと地層が下がる（ $a = - 0.2$ ）のに、D の地層の標高を $80 + 20 + 20 = 120$ m とするのは誤り。どちらへ進むと高くなるか低くなるかを、標高の大小で確かめる
求めた地層の標高を深さとして答えてしまう誤り。40 m は D の地下の地層の標高であり、正しくは地表の標高との差 $95 - 40 = 55$ m が深さ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地域の 3 地点 A, B, C でボーリング調査を行い、同じ凝灰岩の層（かぎ層）の上面に達する深さを調べた。地点 B は地点 A の真東 200 m、地点 C は地点 A の真北 200 m の位置にある。結果は次の表のとおりである。
地点地点 A からの位置地表の標高凝灰岩の層の上面までの深さ
A − 100 m 20 m
B 東へ 200 m 110 m 50 m
C 北へ 200 m 90 m 10 m
この凝灰岩の層は平面状で、一定の割合で傾いているものとする。地点 A から東へ 300 m、北へ 100 m の位置にある地点 D は、地表の標高が 105 m である。地点 D で真下に掘ったとき、凝灰岩の層の上面に達するのは地表から何 m の深さか。整数で答えよ。

地点	地点 A からの位置	地表の標高	凝灰岩の層の上面までの深さ
A	−	100 m	20 m
B	東へ 200 m	110 m	50 m
C	北へ 200 m	90 m	10 m

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある地域に、凝灰岩の鍵層 K が分布している。鍵層 K は断層やしゅう曲のない平面状の地層で、走向は南北であり、東へ一定の角度で傾斜している。
地点 A（標高 $180 m$ ）の露頭では、鍵層 K の上面が地表に現れていた。
地点 B は地点 A から水平距離で東へ $400 m$ 、北へ $300 m$ の位置にあり、標高は $160 m$ である。地点 B で鉛直にボーリングを行ったところ、地表から深さ $60 m$ で鍵層 K の上面に達した。
地点 C は地点 A から水平距離で東へ $700 m$ 、南へ $200 m$ の位置にあり、標高は $210 m$ である。地点 C で鉛直にボーリングを行うとき、地表から何 m の深さで鍵層 K の上面に達するか。整数で求めよ。