アルゴリズムと計算量の問題

互いに異なる $8$ 個の数を並べた配列を、次のマージソートで昇順に並べかえる。

• 長さ $1$ の配列はそのまま返す。
• 長さ $2k$（$k$ は正の整数）の配列は、前半 $k$ 個と後半 $k$ 個に分け、それぞれを再帰的にこのマージソートで並べかえたあと、次の「マージ」で $1$ つの昇順の列にまとめる。
• マージ: 昇順に並んだ 2 つの列の先頭どうしを $1$ 回比較し、小さい方を取り出して出力の末尾に加える。これを一方の列が空になるまで繰り返し、空になったら、もう一方の列に残っている数を比較せずにそのまま出力の末尾に加える。

入力の $8$ 個の数の並び方は $8!$ 通りすべてが等確率で現れるものとする。このとき、ソート全体で行われる数どうしの比較回数の期待値を求めよ。

互いに異なる $6$ 個の数を並べた配列 $A[1],A[2],\dots ,A[6]$ を、次の挿入ソートで昇順に並べかえる。

$i=2,3,\dots ,6$ の順に、次の操作を行う。$x=A[i]$ とし、$j=i-1$ から始めて、$j\geqq 1$ である間「$A[j]$ と $x$ を比較し、$A[j]>x$ ならば $A[j]$ を $A[j+1]$ に移して $j$ を $1$ 減らす。$A[j]<x$ ならばそこで止める」をくり返す。止まったとき（または $j=0$ になったとき）、$A[j+1]=x$ とする。

ここで、数どうしの比較（$A[j]$ と $x$ の比較）だけを数え、$j\geqq 1$ かどうかの判定は数えない。最初の配列が $6$ 個の数の $6!$ 通りの並べ方のどれであるかが同様に確からしいとき、比較回数の期待値を求めよ。

互いに異なる $7$ 個の実数からなる集合を、次の乱択クイックソートで昇順に並べかえる。

• 大きさ $2$ 以上の集合 $S$ を処理するときは、$S$ の要素から $1$ 個をピボット $p$ として等確率で選ぶ。$p$ を $S$ のほかのすべての要素とそれぞれちょうど $1$ 回ずつ比較し、$S$ を $p$ より小さい要素の集合 $S_{-}$ と $p$ より大きい要素の集合 $S_{+}$ に分ける。そのあと、$S_{-}$ と $S_{+}$ をそれぞれ同じ方法で処理する。
• 大きさ $0$ または $1$ の集合を処理するときは、何もしない（比較を行わない）。

ピボットの選択はそれぞれ独立に行うものとする。最初の集合 $7$ 個全体を処理し始めてから終わるまでに行われる比較のうち、小さい方から $3$ 番目の要素がかかわる比較の回数の期待値を求めよ。

互いに異なる $8$ 個の実数を並べた配列 $A[1],A[2],\dots ,A[8]$ の最大値と最小値を、次のアルゴリズムで同時に求める。

• 最初に $M\leftarrow A[1]$, $m\leftarrow A[1]$ とする。
• $i=2,3,\dots ,8$ の順に、次の操作を行う。
• まず $A[i]$ と $M$ を比較する。$A[i]>M$ ならば $M\leftarrow A[i]$ とし、この $i$ についての操作を終える（$m$ とは比較しない）。
• $A[i]<M$ ならば、続けて $A[i]$ と $m$ を比較する。$A[i]<m$ ならば $m\leftarrow A[i]$ とする。

配列の並び方は $8!$ 通りのどれも同様に確からしいとする。このアルゴリズムで行われる要素どうしの比較（$A[i]$ と $M$ の比較、$A[i]$ と $m$ の比較）の回数の期待値を求めよ。

互いに異なる $6$ 個の実数を並べた配列 $A[1],A[2],\dots ,A[6]$ から、最大値と最小値の両方を次のアルゴリズムで求める。

• 最初に $mx=A[1]$、$mn=A[1]$ とする。
• $i=2,3,\dots ,6$ の順に、次の操作を行う。
• まず $A[i]$ と $mx$ を比較する。$A[i]>mx$ であれば $mx=A[i]$ とし、この $i$ についての操作を終える。
• そうでなければ、$A[i]$ と $mn$ を比較し、$A[i]<mn$ であれば $mn=A[i]$ とする。

$6$ 個の数の並び方は $6!$ 通りすべてが等確率 $\frac{1}{6!}$ で起こるとする。このアルゴリズムで行われる要素どうしの比較の回数の期待値を求めよ。