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反応速度の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校化学反応速度

ある反応の速度定数を調べたところ、温度 $300 K$ での速度定数を $k_{1}$ 、温度 $320 K$ での速度定数を $k_{2}$ とすると、 $\frac{k _{2}}{k _{1}} = 4.0$ であった。この反応の活性化エネルギー $E_{a}$ は何 $kJ/mol$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、速度定数はアレニウスの式 $k = A e^{- E_{a} / R T}$ に従い、 $A$ と $E_{a}$ は温度によらず一定とする。また、気体定数は $R = 8.3 J/ (K \cdot mol)$ 、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とする。

この問題で使うもの

2 つの温度での速度定数と活性化エネルギー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 つの温度での速度定数と活性化エネルギーの関係式 $lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ を使います。

ヒント 2

$lo g_{e} 4.0 = 2 lo g_{e} 2$ と変形できます。また、 $\frac{1}{300} - \frac{1}{320}$ は通分して計算します。

ヒント 3

左辺は $1.38$ 、温度の逆数の差は $\frac{1}{4800}$ になります。 $E_{a} = 1.38 \times 8.3 \times 4800$ を計算し、単位を $kJ/mol$ に直します。

答えと解説

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解説を読む

アレニウスの式 $k = A e^{- E_{a} / R T}$ の両辺の自然対数をとると
$lo g_{e} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$
$A$ と $E_{a}$ は温度によらず一定なので、温度 $T_{1}$ , $T_{2}$ での式を引き算すると $lo g_{e} A$ が消えて
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$
が成り立つ。この式に値を代入する。

手順 1: 左辺を計算する
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = lo g_{e} 4.0 = 2 lo g_{e} 2 = 2 \times 0.69 = 1.38$

手順 2: 温度の逆数の差を計算する
$\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}} = \frac{1}{300} - \frac{1}{320} = \frac{320 - 300}{300 \times 320} = \frac{20}{96000} = \frac{1}{4800} /K$

手順 3: $E_{a}$ について解く
$1.38 = \frac{E _{a}}{8.3} \times \frac{1}{4800}$
より
$E_{a} = 1.38 \times 8.3 \times 4800 = 54979.2 J/mol ≒ 55 \times 1 0^{3} J/mol$
よって、活性化エネルギーは $55 kJ/mol$ である。

別解

アレニウスの式より $\frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{e ^{- E_{a} / R T_{2}}}{e ^{- E_{a} / R T_{1}}} = exp [\frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})]$ 。両辺の自然対数をとると $lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{300} - \frac{1}{320})$ 。左辺は $lo g_{e} 4 = 2 lo g_{e} 2 = 2 \times 0.69 = 1.38$ 。右辺の括弧は $\frac{320 - 300}{300 \times 320} = \frac{20}{96000} = \frac{1}{4800}$ 。よって $1.38 = \frac{E _{a}}{8.3 \times 4800}$ 、 $E_{a} = 1.38 \times 8.3 \times 4800 = 1.38 \times 39840 \approx 5.50 \times 1 0^{4} J/mol = 55 kJ/mol$ 。検算: $\frac{5.498 \times 1 0 ^{4}}{8.3 \times 4800} = 1.38$ となり $lo g_{e} 4$ と一致する。有効数字 2 桁で $55 kJ/mol$ 。

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