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生物の進化と系統の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校生物生物の進化と系統

ある二倍体の動物の大きな集団で、常染色体上の 1 対の対立遺伝子 $A$ （顕性）と $a$ （潜性）に注目する。この集団では任意交配が行われ、突然変異・移入・移出・遺伝的浮動は起こらないものとする。また、遺伝子型 $aa$ の個体はすべて生殖年齢に達する前に死亡する。遺伝子型 $AA$ と $A a$ の個体はすべて生き残り、残す子の数も等しい。

第 0 世代の受精直後の子では、遺伝子型の割合はハーディ・ワインベルグの法則に従う割合になっており、遺伝子 $a$ の遺伝子頻度は $0.2$ であった。第 $n$ 世代で生き残った個体どうしの任意交配によって生まれた子を、第 $(n + 1)$ 世代の受精直後の子とする。

受精直後の子に占める遺伝子型 $aa$ の個体の割合が初めて $\frac{1}{400}$ 以下になるのは、第何世代か。その世代の番号 $n$ を整数で答えよ。

この問題で使うもの

潜性致死遺伝子の頻度の世代変化（説明と入口の問題）
ハーディ・ワインベルグの法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（42 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

受精直後の子の遺伝子型の割合をハーディ・ワインベルグの法則で表し、 $aa$ を取り除いた生存個体の中での $a$ の遺伝子頻度を求めてみよう。

ヒント 2

生存個体での $a$ の遺伝子頻度は $q^{'} = \frac{q}{1 + q}$ となる。逆数をとると $\frac{1}{q ^{'}} = \frac{1}{q} + 1$ という簡単な関係になる。

ヒント 3

$\frac{1}{q _{0}} = 5$ なので $q_{n} = \frac{1}{5 + n}$ 。 $aa$ の割合は $q_{n}^{2}$ だから、 $\frac{1}{( 5 + n ) ^{2}} ≦ \frac{1}{400}$ を満たす最小の $n$ を求めればよい。

答えと解説

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解説を読む

第 $n$ 世代の受精直後の子における $A$ , $a$ の遺伝子頻度を $p_{n}$ , $q_{n}$ （ $p_{n} + q_{n} = 1$ ）とする。任意交配なので、受精直後の子の遺伝子型の割合は
$AA : A a : aa = p_{n}^{2} : 2 p_{n} q_{n} : q_{n}^{2}$
である。

$aa$ はすべて死亡するので、生き残るのは $AA$ （割合 $p_{n}^{2}$ ）と $A a$ （割合 $2 p_{n} q_{n}$ ）である。生き残った個体がもつ遺伝子の総数に対する $a$ の数の割合を求める。 $a$ は $A a$ の個体だけが 1 個ずつもつので、
$q_{n + 1} = \frac{2 p _{n} q _{n}}{2 p _{n}^{2} + 2 \cdot 2 p _{n} q _{n}} = \frac{q _{n}}{p _{n} + 2 q _{n}} = \frac{q _{n}}{1 + q _{n}}$
となる（ $p_{n} + 2 q_{n} = (p_{n} + q_{n}) + q_{n} = 1 + q_{n}$ ）。生き残った個体どうしが任意交配し、 $AA$ と $A a$ の残す子の数が等しいので、この値がそのまま次の世代の受精直後の子の $a$ の遺伝子頻度になる。

両辺の逆数をとると
$\frac{1}{q _{n + 1}} = \frac{1 + q _{n}}{q _{n}} = \frac{1}{q _{n}} + 1$
よって、 $\frac{1}{q _{n}}$ は 1 世代ごとに 1 ずつ増える。 $q_{0} = 0.2$ より $\frac{1}{q _{0}} = 5$ なので
$\frac{1}{q _{n}} = 5 + n, q_{n} = \frac{1}{5 + n}$
（確認： $q_{1} = \frac{0.2}{1.2} = \frac{1}{6}$ ）。

第 $n$ 世代の受精直後の子に占める $aa$ の割合は
$q_{n}^{2} = \frac{1}{( 5 + n ) ^{2}}$
これが $\frac{1}{400}$ 以下になる条件は $(5 + n)^{2} ≧ 400$ 、すなわち $5 + n ≧ 20$ 、 $n ≧ 15$ 。

したがって、初めて $\frac{1}{400}$ 以下になるのは第 $15$ 世代である（このとき $q_{15} = \frac{1}{20}$ , $aa$ の割合はちょうど $\frac{1}{400}$ ）。

別解

第 $n$ 世代の受精直後の子における $a$ の遺伝子頻度を $q_{n}$ とする。受精直後の子の遺伝子型の割合は $AA : A a : aa = (1 - q_{n})^{2} : 2 q_{n} (1 - q_{n}) : q_{n}^{2}$ である。

$aa$ は生殖年齢前に死亡するので、生き残るのは $AA$ と $A a$ だけで、その割合の合計は $1 - q_{n}^{2} = (1 - q_{n}) (1 + q_{n})$ である。生き残った個体がつくる配偶子に含まれる $a$ の頻度は、 $A a$ の半分だけなので
$q_{n + 1} = \frac{q _{n} ( 1 - q _{n} )}{( 1 - q _{n} ) ( 1 + q _{n} )} = \frac{q _{n}}{1 + q _{n}}$
となる。AA と Aa は残す子の数が等しいと仮定し、任意交配なので、次世代の受精直後の子は再びハーディ・ワインベルグの割合になる。

両辺の逆数をとると $\frac{1}{q _{n + 1}} = \frac{1}{q _{n}} + 1$ となる。 $q_{0} = 0.2$ より $\frac{1}{q _{0}} = 5$ なので、 $\frac{1}{q _{n}} = 5 + n$ 、つまり $q_{n} = \frac{1}{n + 5}$ である。

受精直後の子の $aa$ の割合は $q_{n}^{2} = \frac{1}{( n + 5 ) ^{2}}$ である。これが $\frac{1}{400}$ 以下になる条件は $(n + 5)^{2} \geq 400$ 、すなわち $n + 5 \geq 20$ で、 $n \geq 15$ となる。

検算: $n = 14$ のとき $q = \frac{1}{19}$ で $aa = \frac{1}{361} > \frac{1}{400}$ 。 $n = 15$ のとき $q = \frac{1}{20}$ で $aa = \frac{1}{400}$ となり、条件を満たす。

よって、初めて条件を満たすのは第 15 世代である。

体色	生まれた子の数	繁殖に参加した成虫の数
暗色	$7500$	$1500$
明色	$2500$	$1000$

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