生物の進化と系統の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル高校生物生物の進化と系統

ある二倍体の動物の大きな集団で、常染色体上の 1 対の対立遺伝子 $A$ （顕性）と $a$ （潜性）に注目する。遺伝子型 $aa$ の個体は、生まれたあと繁殖できる年齢になる前にすべて死ぬ。遺伝子型 $AA$ と $A a$ の個体は同じ割合で生き残り、同じように子を残す。この集団では任意交配が行われ、世代は重ならない。突然変異・移入・移出・遺伝的浮動は起こらないものとする。

ある世代（これを第 $0$ 世代とする）に生まれた子（受精直後の個体）の遺伝子型の頻度はハーディ・ワインベルグの法則に従っており、遺伝子型 $aa$ の個体の割合は $\frac{1}{16}$ であった。以後、第 $0$ 世代の生き残った個体どうしの交配で生まれた子を第 $1$ 世代、第 $1$ 世代の生き残った個体どうしの交配で生まれた子を第 $2$ 世代、…とよぶ。

生まれた子（受精直後の個体）に占める遺伝子型 $aa$ の個体の割合が初めて $\frac{1}{100}$ 以下になるのは、第何世代か。整数で答えよ。

この問題で使うもの

潜性致死遺伝子の頻度の世代変化（説明と入口の問題）
ハーディ・ワインベルグの法則（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（42 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず第 0 世代の $a$ の遺伝子頻度を、 $aa$ の割合からハーディ・ワインベルグの法則を使って求めよう。次に、 $aa$ が取り除かれたあとの集団で $a$ の頻度がどう変わるかを考える。

ヒント 2

子の遺伝子型の頻度が $AA : A a : aa = p^{2} : 2 pq : q^{2}$ のとき、 $aa$ が除かれると次の世代の $a$ の頻度は $\frac{q}{1 + q}$ になる。

ヒント 3

$q_{0} = \frac{1}{4}$ から、 $q_{1} = \frac{1}{5}$ 、 $q_{2} = \frac{1}{6}$ 、… と分母が 1 ずつ増えていく。 $aa$ の割合はその 2 乗である。

答えと解説

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6

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解説を読む

第 $n$ 世代の子（受精直後）における遺伝子 $a$ の頻度を $q_{n}$ 、 $A$ の頻度を $p_{n} = 1 - q_{n}$ とする。

第 0 世代の $a$ の頻度
ハーディ・ワインベルグの法則より $aa$ の割合は $q_{0}^{2}$ なので、 $q_{0}^{2} = \frac{1}{16}$ より $q_{0} = \frac{1}{4}$ 。

1 世代での変化
任意交配で生まれた子の遺伝子型の頻度は、 $AA : A a : aa = p_{n}^{2} : 2 p_{n} q_{n} : q_{n}^{2}$ である。 $aa$ はすべて繁殖前に死に、 $AA$ と $A a$ は同じ割合で生き残るので、繁殖する個体の遺伝子型の比は $AA : A a = p_{n}^{2} : 2 p_{n} q_{n}$ となる。この中の $a$ の頻度は、 $A a$ 1 個体が $a$ を 1 個もつことから
$q_{n + 1} = \frac{2 p _{n} q _{n}}{2 ( p _{n}^{2} + 2 p _{n} q _{n} )} = \frac{q _{n}}{p _{n} + 2 q _{n}} = \frac{q _{n}}{1 + q _{n}}$
（ $p_{n} + q_{n} = 1$ を用いた）。繁殖する個体どうしが任意交配するので、この頻度がそのまま次の世代の子の $a$ の頻度になり、子の遺伝子型の頻度は再びハーディ・ワインベルグの法則に従う。

各世代の $a$ の頻度
$q_{n} = \frac{1}{k}$ のとき $q_{n + 1} = \frac{\frac{1}{k}}{1 + \frac{1}{k}} = \frac{1}{k + 1}$ となる。 $q_{0} = \frac{1}{4}$ なので
$q_{1} = \frac{1}{5}, q_{2} = \frac{1}{6}, \dots, q_{n} = \frac{1}{n + 4}$

$aa$ の割合が $\frac{1}{100}$ 以下になる世代
第 $n$ 世代の子の $aa$ の割合は $q_{n}^{2} = \frac{1}{( n + 4 ) ^{2}}$ 。 $\frac{1}{( n + 4 ) ^{2}} \leq \frac{1}{100}$ となるのは $n + 4 \geq 10$ 、すなわち $n \geq 6$ のときである。第 5 世代では $\frac{1}{81} > \frac{1}{100}$ 、第 6 世代では $\frac{1}{100}$ となる。

よって、初めて $\frac{1}{100}$ 以下になるのは 第 6 世代 である。

別解

第 $n$ 世代の生まれた子での $a$ の遺伝子頻度を $q_{n}$ とする。ハーディ・ワインベルグの法則より、第 $n$ 世代の子の遺伝子型頻度は $AA : A a : aa = (1 - q_{n})^{2} : 2 q_{n} (1 - q_{n}) : q_{n}^{2}$ である。

第 $0$ 世代では $q_{0}^{2} = \frac{1}{16}$ より $q_{0} = \frac{1}{4}$ 。

$aa$ は繁殖前に全て死ぬ。生き残る個体は $AA$ と $A a$ で、その割合は合計 $1 - q_{n}^{2}$ である。この中での $a$ の頻度は
$q_{n + 1} = \frac{q _{n} ( 1 - q _{n} )}{1 - q _{n}^{2}} = \frac{q _{n}}{1 + q _{n}}$
となる。

両辺の逆数をとると $\frac{1}{q _{n + 1}} = \frac{1}{q _{n}} + 1$ 。よって $\frac{1}{q _{n}} = 4 + n$ 、つまり $q_{n} = \frac{1}{n + 4}$ 。

第 $n$ 世代の子の $aa$ の割合は $q_{n}^{2} = \frac{1}{( n + 4 ) ^{2}}$ である。

$\frac{1}{( n + 4 ) ^{2}} \leq \frac{1}{100}$ より $n + 4 \geq 10$ 、つまり $n \geq 6$ 。

検算： $n = 5$ では $\frac{1}{81} > \frac{1}{100}$ 、 $n = 6$ では $\frac{1}{100}$ で、条件「 $\frac{1}{100}$ 以下」を満たす。

よって、初めて $\frac{1}{100}$ 以下になるのは第 $6$ 世代。

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