情報理論・符号理論の問題

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上の符号長 $7$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1\end{array}\right)$$
の行ベクトルが張る部分空間 $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}\in {\mathbb{F}}_2^3\}$ と定める。$C$ の最小距離（ハミング距離の最小値）を $d$、ハミング重みがちょうど $d$ である $C$ の符号語の個数を $A_d$ とする。組 $(d,A_d)$ をこの順に求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上の符号長 $4$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ と定める（$\mathbf{u}$ は行ベクトル）。ベクトルのハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $C$ の $0$ でない符号語のハミング重みの最小値とする。また、ハミング重みがちょうど $d$ である符号語の個数を $A_d$ とする。$d$ と $A_d$ をこの順に組 $(d,A_d)$ で求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上の符号長 $4$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}=(u_1,u_2)\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ と定める。符号語のハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $0$ でない符号語の重みの最小値とする。$C$ の最小距離 $d$ と、重みがちょうど $d$ である符号語の個数 $A_d$ を、組 $(d,A_d)$ の形でこの順に求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上で、符号長 $4$ の線形符号 $C$ を生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
で定める。すなわち $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}=(a,b)\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ とする。符号語 $\mathbf{c}$ のハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $C$ の $0$ でない符号語の重みの最小値とする。また、重みがちょうど $d$ である符号語の個数を $A_d$ とする。$d$ と $A_d$ をこの順に組 $(d,A_d)$ で求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上の符号長 $8$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
の行ベクトルが張る ${\mathbb{F}}_2^8$ の部分空間として定める。$C$ の双対符号を
$$C^{\perp }=\{x\in {\mathbb{F}}_2^8\mid \text{すべての }c\in C\text{ に対して }x\cdot c=0\}$$
とする（$x\cdot c$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上の標準内積）。$C^{\perp }$ の最小距離を $d$、$C^{\perp }$ に含まれるハミング重み $d$ の符号語の個数を $A$ とするとき、組 $(d,A)$ を求めよ。