化学平衡の問題

はじめの平衡

反応した ${\text{H}}_2$ を $x$ [mol] とすると、平衡時の物質量は
$${\text{H}}_2:1.00-x,{\text{I}}_2:1.00-x,\text{HI}:2x$$
である。容器の容積を $V$ [L] とすると、平衡定数は
$$K=\frac{[\text{HI}{]}^2}{[{\text{H}}_2][{\text{I}}_2]}=\frac{{\left(\frac{2x}{V}\right)}^2}{\frac{1.00-x}{V}\cdot \frac{1.00-x}{V}}=\frac{(2x{)}^2}{(1.00-x{)}^2}$$
となり、$V$ が消える（反応の前後で気体の物質量の合計が変わらないため）。$K=64.0$ より、両辺の正の平方根をとって
$$\frac{2x}{1.00-x}=8.00$$
$$2x=8.00-8.00x⟹x=0.800$$
よって、はじめの平衡では ${\text{H}}_2:0.200\text{mol}$、${\text{I}}_2:0.200\text{mol}$、$\text{HI}:1.60\text{mol}$ である。

水素を追加したあとの平衡

${\text{H}}_2$ を加えると、ルシャトリエの原理により ${\text{H}}_2$ を減らす向き（右向き）に平衡が移動する。新たに反応する ${\text{H}}_2$ を $y$ [mol] とすると、新しい平衡での物質量は
$${\text{H}}_2:0.200+1.40-y=1.60-y,{\text{I}}_2:0.200-y,\text{HI}:1.60+2y$$
（$0<y<0.200$）である。温度が一定なので平衡定数は変わらず
$$\frac{(1.60+2y{)}^2}{(1.60-y)(0.200-y)}=64.0$$
分母を払って展開すると
$$2.56+6.40y+4y^2=64.0(0.320-1.80y+y^2)=20.48-115.2y+64.0y^2$$
$$60.0y^2-121.6y+17.92=0$$
両辺を 4 でわって
$$15.0y^2-30.4y+4.48=0$$
解の公式より
$$y=\frac{30.4\pm \sqrt{30.4^2-4\times 15.0\times 4.48}}{2\times 15.0}=\frac{30.4\pm \sqrt{924.16-268.8}}{30.0}=\frac{30.4\pm \sqrt{655.36}}{30.0}=\frac{30.4\pm 25.6}{30.0}$$
$0<y<0.200$ を満たすのは
$$y=\frac{30.4-25.6}{30.0}=0.160$$
（もう一方の $y=\frac{56.0}{30.0}\fallingdotseq 1.87$ は ${\text{I}}_2$ の物質量が負になるので不適。）

よって、新しい平衡での HI の物質量は
$$1.60+2\times 0.160=1.92\text{mol}$$

確かめ

${\text{H}}_2:1.44\text{mol}$、${\text{I}}_2:0.040\text{mol}$、$\text{HI}:1.92\text{mol}$ で、$\frac{1.92^2}{1.44\times 0.040}=\frac{3.6864}{0.0576}=64.0$ となり、平衡定数と一致する。

容積を $V$ [L] とする。この反応は反応の前後で物質量が変わらない（左辺 2 mol、右辺 2 mol）ので、$K=\frac{n_{\text{HI}}^2}{n_{{\text{H}}_2}{n}_{{\text{I}}_2}}$ と物質量だけで書ける（$V$ は約分される）。

【はじめの平衡】${\text{H}}_2$ が $y$ mol 反応したとすると、${\text{H}}_2$、${\text{I}}_2$ は $1.00-y$、$\text{HI}$ は $2y$。
$\frac{(2y{)}^2}{(1-y{)}^2}=64$ より $\frac{2y}{1-y}=8$、$y=0.80$。
よって ${\text{H}}_2=0.20$、${\text{I}}_2=0.20$、$\text{HI}=1.60\text{mol}$。

【水素を追加した直後】${\text{H}}_2=0.20+1.40=1.60$、${\text{I}}_2=0.20$、$\text{HI}=1.60\text{mol}$。

【新しい平衡】さらに $z$ mol の ${\text{H}}_2$ が反応するとして
$\frac{(1.60+2z{)}^2}{(1.60-z)(0.20-z)}=64$
展開すると $2.56+6.4z+4z^2=64(0.32-1.8z+z^2)=20.48-115.2z+64z^2$
$60z^2-121.6z+17.92=0$、両辺を整理して $375z^2-760z+112=0$。
判別式 $760^2-4\times 375\times 112=577600-168000=409600=640^2$。
$z=\frac{760\pm 640}{750}$ より $z=0.16$ または $z=1.866\cdots$。$z<0.20$ でなければならないので $z=0.16$。

$\text{HI}=1.60+2\times 0.16=1.92\text{mol}$。

検算: ${\text{H}}_2=1.44$、${\text{I}}_2=0.04$、$\text{HI}=1.92$ より $\frac{1.92^2}{1.44\times 0.04}=\frac{3.6864}{0.0576}=64.0$。一致する。