最適化・線形計画法の問題

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=x^2+2y^2\\ \text{subject to}& g(x,y)=3-x-y\le 0\end{array}$$
この問題の KKT 条件
$$\nabla f(x,y)+\mu \nabla g(x,y)=0,g(x,y)\le 0,\mu \ge 0,\mu g(x,y)=0$$
をみたす点 $(x,y)$ と乗数 $\mu$ はただ 1 組ある。これを組 $(x,y,\mu )$ の形で求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=x^2+2y^2\\ \text{subject to}& g(x,y)=6-x-2y\le 0\end{array}$$
この問題の KKT 条件
$$\nabla f(x,y)+\mu \nabla g(x,y)=0,g(x,y)\le 0,\mu \ge 0,\mu g(x,y)=0$$
をみたす $(x,y,\mu )$ はただ 1 組である。その組を $(x,y,\mu )$ の順に求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=x^2+2y^2\\ \text{subject to}& g(x,y)=3-x-y\le 0\end{array}$$
この問題が凸計画問題であることを確かめ、KKT 条件を用いて $f$ の最小値を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=x^2+2y^2\\ \text{subject to}& g(x,y)=3-x-y\le 0\end{array}$$
この問題が凸計画問題であることを確かめ、KKT 条件を満たす点を求めて、$f(x,y)$ の最小値を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=(x-4{)}^2+(y-1{)}^2\\ \text{subject to}& g_1(x,y)=x+2y-4\le 0,\\ & g_2(x,y)=-x\le 0,\\ & g_3(x,y)=-y\le 0.\end{array}$$
KKT 条件を
$$\nabla f(x,y)+{\mu }_1\nabla g_1(x,y)+{\mu }_2\nabla g_2(x,y)+{\mu }_3\nabla g_3(x,y)=0,{\mu }_i\ge 0,{\mu }_i{g}_i(x,y)=0(i=1,2,3)$$
と、制約 $g_i(x,y)\le 0(i=1,2,3)$ の組とする。この問題の最適解 $(x^{\ast },y^{\ast })$ と、そこでの KKT 乗数 ${\mu }_1^{\ast }$ を、組 $(x^{\ast },y^{\ast },{\mu }_1^{\ast })$ の形で求めよ。