電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

n チャネル MOSFET を用いた、ソース抵抗つきのソース接地増幅回路を考える。

ドレインは抵抗 $R_{D}$ を通して直流電源 $V_{D D}$ につながり、ドレインを出力端子とする。出力端子には何もつながない。
ソースは抵抗 $R_{S}$ を通してグラウンドにつながる。 $R_{S}$ に並列なバイパスコンデンサーはない。
ゲートには、内部インピーダンス $0$ の信号源が直流バイアス電圧と直列に直接つながり、ゲート電圧の小信号成分は $v_{in}$ である。

MOSFET は飽和領域で動作しており、その動作点での小信号等価回路は、ゲート・ソース間電圧 $v_{g s}$ に比例する電流源 $g_{m} v_{g s}$ （ドレインからソースへ向かう向き）と、それに並列なドレイン・ソース間の出力抵抗 $r_{o}$ で表されるものとする。ゲートには電流が流れず、基板効果（ボディ効果）と寄生容量は無視する。直流電源 $V_{D D}$ は小信号に対して短絡とみなす。

ドレインの電圧の小信号成分を $v_{out}$ とするとき、小信号電圧利得 $A_{v} = v_{out} / v_{in}$ を $g_{m}$ , $r_{o}$ , $R_{D}$ , $R_{S}$ を用いて表せ。

v_{in}

DSG

R_{D}

V_{D D}

R_{S}

出力

信号源の直流バイアス電圧は省略して描いている。下の斜線つきの線はグラウンド

この問題で使うもの

小信号等価回路と相互コンダクタンス（説明と入口の問題）
増幅回路の電圧利得と入出力インピーダンス（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

小信号等価回路を描き、 $V_{D D}$ を短絡して、 $R_{D}$ ・MOSFET・ $R_{S}$ を同じ電流 $i_{d}$ が流れることを使いましょう。

ヒント 2

$v_{out} = - R_{D} i_{d}$ , ソース電圧 $v_{s} = R_{S} i_{d}$ , $v_{g s} = v_{in} - v_{s}$ です。MOSFET を流れる電流は $i_{d} = g_{m} v_{g s} + (v_{out} - v_{s}) / r_{o}$ と書けます。

ヒント 3

これらを代入すると $i_{d} (1 + g_{m} R_{S} + \frac{R _{D} + R _{S}}{r _{o}}) = g_{m} v_{in}$ が得られます。 $i_{d}$ を求めて $v_{out} = - R_{D} i_{d}$ に代入しましょう。

答えと解説

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- \frac{g _{m} r _{o} R _{D}}{r _{o} + R _{D} + R _{S} + g _{m} r _{o} R _{S}}

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解説を読む

小信号等価回路で考える。 $V_{D D}$ は短絡なので、 $R_{D}$ はドレインとグラウンドの間につながる。ゲートの小信号電圧は $v_{in}$ である。

ドレインに $R_{D}$ 側から流れ込み、MOSFET を通ってソースから $R_{S}$ へ流れ出る小信号電流を $i_{d}$ とする。ゲートには電流が流れないので、 $R_{D}$ と $R_{S}$ には同じ電流 $i_{d}$ が流れ、
$v_{d} = - R_{D} i_{d}, v_{s} = R_{S} i_{d}$
となる（ $v_{d} = v_{out}$ , $v_{s}$ はソースの小信号電圧）。

MOSFET の中を流れる電流は、電流源の分と $r_{o}$ を流れる分の和なので（キルヒホッフの電流則）
$i_{d} = g_{m} v_{g s} + \frac{v _{d} - v _{s}}{r _{o}}, v_{g s} = v_{in} - v_{s} .$
これに $v_{d}, v_{s}$ を代入すると
$i_{d} = g_{m} (v_{in} - R_{S} i_{d}) - \frac{( R _{D} + R _{S} ) i _{d}}{r _{o}}$
$i_{d} (1 + g_{m} R_{S} + \frac{R _{D} + R _{S}}{r _{o}}) = g_{m} v_{in}$
$i_{d} = \frac{g _{m} r _{o}}{r _{o} + R _{D} + R _{S} + g _{m} r _{o} R _{S}} v_{in} .$
よって
$A_{v} = \frac{v _{out}}{v _{in}} = \frac{- R _{D} i _{d}}{v _{in}} = - \frac{g _{m} r _{o} R _{D}}{r _{o} + R _{D} + R _{S} + g _{m} r _{o} R _{S}} .$

確かめ.
- $R_{S} = 0$ のとき $A_{v} = - \frac{g _{m} r _{o} R _{D}}{r _{o} + R _{D}} = - g_{m} (r_{o} ∥ R_{D})$ となり、通常のソース接地増幅回路の結果に一致する。
- $r_{o} \to \infty$ のとき $A_{v} \to - \frac{g _{m} R _{D}}{1 + g _{m} R _{S}}$ となり、ソース抵抗による負帰還で利得が $1/ (1 + g_{m} R_{S})$ 倍に下がるというよく知られた結果に一致する。

なお、分母は $R_{D}$ と「ドレインから見た抵抗」 $r_{o} + R_{S} + g_{m} r_{o} R_{S}$ の和になっており、 $A_{v} = - G_{m} (R_{D} ∥ R_{out, d})$ （ $G_{m}$ は実効相互コンダクタンス）の形にも書き直せる。

別解

小信号等価回路で、ドレイン電流（ドレイン→ソースの向き）を $i_{d}$ とする。 $V_{D D}$ は短絡なので $R_{D}$ は小信号的にドレインとグラウンドの間にある。

ソース電圧: $v_{s} = i_{d} R_{S}$
ドレイン電圧: $v_{out} = - i_{d} R_{D}$ （ $i_{d}$ は $R_{D}$ を通ってドレインへ流れ込むため）
$v_{g s} = v_{in} - v_{s} = v_{in} - i_{d} R_{S}$ （ゲート電流は 0）
電流源と $r_{o}$ を通る電流の和: $i_{d} = g_{m} v_{g s} + \frac{v _{out} - v _{s}}{r _{o}}$

代入して
$i_{d} = g_{m} (v_{in} - i_{d} R_{S}) - \frac{i _{d} ( R _{D} + R _{S} )}{r _{o}}$
$i_{d} [1 + g_{m} R_{S} + \frac{R _{D} + R _{S}}{r _{o}}] = g_{m} v_{in} .$
よって
$A_{v} = \frac{v _{out}}{v _{in}} = \frac{- g _{m} R _{D}}{1 + g _{m} R _{S} + \frac{R _{D} + R _{S}}{r _{o}}} = - \frac{g _{m} r _{o} R _{D}}{r _{o} + R _{D} + R _{S} + g _{m} r _{o} R _{S}} .$

検算: $r_{o} \to \infty$ で $A_{v} \to - \frac{g _{m} R _{D}}{1 + g _{m} R _{S}}$ （よく知られたソース抵抗つき増幅回路の利得）。 $R_{S} = 0$ で $A_{v} = - g_{m} \frac{r _{o} R _{D}}{r _{o} + R _{D}} = - g_{m} (r_{o} ∥ R_{D})$ となり、これも既知の結果と一致。

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