情報理論・符号理論の問題

次元　$H$ の第 1 列と第 2 列は $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ で 1 次独立なので $\mathrm{rank}H=2$。$C$ は $H$ の核なので、次元定理より
$$k=4-\mathrm{rank}H=4-2=2$$
したがって $C$ の符号語は $3^2=9$ 個ある。

符号語をすべて求める　$H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0$ は
$$x_1+x_3+x_4=0,x_2+x_3+2x_4=0$$
である（$\mathrm{mod}3$）。$x_3,x_4$ を自由に選ぶと、$-1\equiv 2,-2\equiv 1$ より
$$x_1=2x_3+2x_4,x_2=2x_3+x_4$$
となる。$(x_3,x_4)$ の 9 通りについて計算すると

（例: $(x_3,x_4)=(1,2)$ のとき $x_1=2+4=6\equiv 0$、$x_2=2+2=4\equiv 1$。）

最小距離　線形符号では $\mathbf{x},\mathbf{y}\in C$ のハミング距離は $\mathbf{x}-\mathbf{y}\in C$ の重みに等しいので、最小距離は $0$ でない符号語の重みの最小値である。表より $0$ でない符号語の重みはすべて $3$ なので $d=3$。

（検査行列からも確かめられる: $H$ のどの 2 列も一方が他方の定数倍ではないので 1 次独立であり、たとえば第 1・2・3 列は 第 1 列 $+$ 第 2 列 $=$ 第 3 列 という 1 次従属な関係をもつ。よって 1 次従属になる列の最小本数は $3$ で、$d=3$。）

重み $d$ の符号語の個数　表より、重み $3$ の符号語は $0$ でない 8 個すべてなので $A_3=8$。

以上より $(k,d,A_d)=(2,3,8)$。

$H$ の階数は 2（第 1, 2 列が単位行列）なので $k=4-2=2$、$|C|=3^2=9$。

$H{x}^{\mathsf{T}}=0$ は $x_1+x_3+x_4=0,x_2+x_3+2x_4=0$（mod 3）。$x_3,x_4$ を自由に選ぶと $x_1=-x_3-x_4,x_2=-x_3-2x_4$。

$(x_3,x_4)$ を全て列挙する。
- $(0,0)\to 0000$（重み 0）
- $(1,0)\to 2210$（重み 3）
- $(2,0)\to 1120$（重み 3）
- $(0,1)\to 2101$（重み 3）
- $(0,2)\to 1202$（重み 3）
- $(1,1)\to 1011$（重み 3）
- $(2,2)\to 2022$（重み 3）
- $(1,2)\to 0112$（重み 3）
- $(2,1)\to 0221$（重み 3）

線形符号なので最小距離は 0 でない符号語の最小重みに等しく $d=3$。重み 3 の符号語は 8 個なので $A_d=8$。

検算：$H$ のどの 2 列も一次独立（列 $(1,0),(0,1),(1,1),(1,2)$ は互いに比例しない）なので $d\ge 3$。3 列の一次従属（例：第 1,2,3 列で $1\cdot c_1+1\cdot c_2-c_3=0$）があるので $d=3$。また MDS 符号（$d=n-k+1=3$）で、重み分布 $A_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)(3-1)=8$ とも一致する。