凸最適化・組合せ最適化の問題

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=5\Vert x{\Vert }_{\infty }=5\max \{|x_1|,|x_2|\}(x=(x_1,x_2))$$
で定め、近接写像を
$${\mathrm{prox}}_f(v)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\mathrm{argmin}}\left\{f(x)+\frac{1}{2}\Vert x-v{\Vert }_2^2\right\}$$
とする。$v=(6,3)$ のとき、${\mathrm{prox}}_f(v)$ を成分表示 $(x_1,x_2)$ で求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れ、$\Vert x{\Vert }_1={\sum }_{i=1}^4|x_i|$ とする。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^4\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=2\Vert x{\Vert }_1+\frac{1}{2}\Vert x{\Vert }_2^2$$
で定め、その近接写像を
$${\mathrm{prox}}_f(v)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^4}{\mathrm{argmin}}\left\{f(x)+\frac{1}{2}\Vert x-v{\Vert }_2^2\right\}$$
とする。$v=(5,-1,3,-4)$ に対して ${\mathrm{prox}}_f(v)=(p_1,p_2,p_3,p_4)$ を求め、組 $(p_1,p_2,p_3,p_4)$ で答えよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ を $f(x)=2\Vert x{\Vert }_2$ で定め、その近接写像を
$${\mathrm{prox}}_f(v)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^3}{\mathrm{argmin}}\left\{f(x)+\frac{1}{2}\Vert x-v{\Vert }_2^2\right\}$$
とする。$v=(3,4,12)$ のとき、${\mathrm{prox}}_f(v)$ を成分の組 $(p_1,p_2,p_3)$ で求めよ。

${\mathbb{R}}^4$ に標準内積とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^4\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=3\max \{x_1,x_2,x_3,x_4\}$$
で定め、その近接写像を
$${\mathrm{prox}}_f(v)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^4}{\mathrm{argmin}}\left\{f(x)+\frac{1}{2}\Vert x-v{\Vert }_2^2\right\}$$
とする。$v=(4,3,1,-2)$ のとき、${\mathrm{prox}}_f(v)$ を成分の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の形で求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=3|x_1-x_2|+|x_1+x_2|$$
で定め、その近接写像を
$${\mathrm{prox}}_f(v)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\mathrm{argmin}}\left(f(x)+\frac{1}{2}\Vert x-v{\Vert }_2^2\right)(v\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。$v=(7,-3)$ のとき、${\mathrm{prox}}_f(v)=(p_1,p_2)$ とおく。組 $(p_1,p_2)$ を求めよ。