最適化・線形計画法の問題

実数 $x,y$ についての次の線形計画問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& z=3x+2y\\ \text{subject to}& x+y\ge 6,\\ & x+3y\ge 10,\\ & 2x+y\ge 8,\\ & x\ge 0,y\ge 0\end{array}$$
この問題の最適解はただ 1 つである。最適解 $(x,y)$ を組で求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての次の線形計画問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& z=2x_1+3x_2+x_3\\ \text{subject to}& x_1+x_2+x_3=6,\\ & x_1+2x_2+3x_3=10,\\ & x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0\end{array}$$
基底解をすべて求めて実行可能かを調べることにより、この問題の最適解 $(x_1,x_2,x_3)$ を求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 6x_1+8x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3\ge 3,\\ & 2x_1+x_2+x_3\ge 4,\\ & x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解はただ 1 つである。双対問題を利用して、その最適解 $(x_1,x_2,x_3)$ をこの順に求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての次の線形計画問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& z=x_1+3x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+x_2+x_3+x_4=6,\\ & x_1+2x_2+3x_3=10,\\ & x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0\end{array}$$
基底解を列挙することにより、この問題の最適解を求め、組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の形で答えよ。

実数 $x_1,x_2$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 2x_1+3x_2\\ \text{subject to}& x_1+x_2\leqq 4,\\ & x_1+3x_2\leqq 6,\\ & x_1\geqq 0,x_2\geqq 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の双対問題 $(\mathrm{D})$（実数 $y_1,y_2$ についての最小化問題）を作り、$(\mathrm{D})$ の最適値（目的関数の最小値）を求めよ。