最適化・線形計画法の問題

実数 $x_1,x_2$ についての線形計画問題 $(\mathrm{P})$ と、実数 $y_1,y_2,y_3$ についてのその双対問題 $(\mathrm{D})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 5x_1+4x_2\\ \text{subject to}& x_1+x_2\leqq 5\\ & 2x_1+x_2\leqq 8\\ & x_1+3x_2\leqq 12\\ & x_1\geqq 0,x_2\geqq 0\end{array}$$
$$(\mathrm{D})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 5y_1+8y_2+12y_3\\ \text{subject to}& y_1+2y_2+y_3\geqq 5\\ & y_1+y_2+3y_3\geqq 4\\ & y_1\geqq 0,y_2\geqq 0,y_3\geqq 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解は $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=(3,2)$ であることがわかっている。相補性条件を用いて、$(\mathrm{D})$ の最適解 $(y_1,y_2,y_3)$ を求めよ。

実数 $x_1,x_2$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 4x_1+3x_2\\ \text{subject to}& x_1+x_2\leqq 5\\ & 2x_1+x_2\leqq 8\\ & x_2\leqq 4\\ & x_1\geqq 0,x_2\geqq 0\end{array}$$
その双対問題は、実数 $y_1,y_2,y_3$ についての
$$(\mathrm{D})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 5y_1+8y_2+4y_3\\ \text{subject to}& y_1+2y_2\geqq 4\\ & y_1+y_2+y_3\geqq 3\\ & y_1\geqq 0,y_2\geqq 0,y_3\geqq 0\end{array}$$
である。$(\mathrm{P})$ の最適解が $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=(3,2)$ であることが分かっているとき、相補性条件を用いて $(\mathrm{D})$ の最適解 $(y_1^{\ast },y_2^{\ast },y_3^{\ast })$ を求めよ。

実数 $y_1,y_2,y_3$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{D})$ を考える。
$$(\mathrm{D})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 5y_1+8y_2+8y_3\\ \text{subject to}& y_1+y_2+2y_3\geqq 3\\ & y_1+2y_2+y_3\geqq 2\\ & y_1\geqq 0,y_2\geqq 0,y_3\geqq 0\end{array}$$
$(\mathrm{D})$ の最小値を求めよ。

実数 $x_1,x_2$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 2x_1+3x_2\\ \text{subject to}& x_1+x_2\leqq 4,\\ & x_1+3x_2\leqq 6,\\ & x_1\geqq 0,x_2\geqq 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の双対問題 $(\mathrm{D})$（実数 $y_1,y_2$ についての最小化問題）を作り、$(\mathrm{D})$ の最適値（目的関数の最小値）を求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 3x_1+5x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+x_2+x_3\leqq 5\\ & x_1+2x_2+3x_3\leqq 8\\ & x_1\geqq 0,x_2\geqq 0,x_3\geqq 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の双対問題 $(\mathrm{D})$ を作ると、変数は 2 つになる。$(\mathrm{D})$ を座標平面上の図を使って解き、強双対定理を用いて $(\mathrm{P})$ の最適値（目的関数の最大値）を求めよ。