最適化・線形計画法の問題

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 6x_1+8x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3\ge 3,\\ & 2x_1+x_2+x_3\ge 4,\\ & x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解はただ 1 つである。双対問題を利用して、その最適解 $(x_1,x_2,x_3)$ をこの順に求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての線形計画問題 $(\mathrm{P})$ と、実数 $y_1,y_2,y_3,y_4$ についてのその双対問題 $(\mathrm{D})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 4x_1+3x_2+5x_3\\ \text{subject to}& x_1+x_2+x_3\le 3,\\ & 2x_1+x_2\le 3,\\ & x_1+2x_3\le 3,\\ & 2x_2+x_3\le 3,\\ & x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}$$
$$(\mathrm{D})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 3y_1+3y_2+3y_3+3y_4\\ \text{subject to}& y_1+2y_2+y_3\ge 4,\\ & y_1+y_2+2y_4\ge 3,\\ & y_1+2y_3+y_4\ge 5,\\ & y_1,y_2,y_3,y_4\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{D})$ の最適解は一つに定まらない。$(\mathrm{D})$ の最適解 $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ 全体を動くときの $y_1+y_3$ の最小値と最大値を、この順に組で求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 3x_1+2x_2+8x_3+5x_4+7x_5\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3+3x_4+2x_5\ge 5,\\ & x_1-x_2+3x_3+x_4+2x_5\ge 3,\\ & x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解はただ 1 つである。その最適解を $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ の組として求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 3x_1+x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+x_2+2x_3\le 4,\\ & 2x_1+x_3\le 5,\\ & x_1+3x_2+x_3\le 7,\\ & x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0\end{array}$$
$(x_1,x_2,x_3)=(2,0,1)$ は $(\mathrm{P})$ の最適解である。$(\mathrm{P})$ の 3 つの不等式制約に上から順に双対変数 $y_1,y_2,y_3$ を対応させた双対問題 $(\mathrm{D})$ の最適解 $(y_1,y_2,y_3)$ を、相補性条件を用いてこの順に求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 4x_1+3x_2+3x_3+6x_4\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3+3x_4\ge 8,\\ & 3x_1+x_2+x_3+2x_4\ge 9,\\ & x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の双対問題を作って解き、相補性条件を用いることで、$(\mathrm{P})$ の最適解 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ を求めよ（最適解はただ 1 つに定まる）。答えは組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の形で答えよ。