最適化・線形計画法の問題

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 6x_1+8x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3\ge 3,\\ & 2x_1+x_2+x_3\ge 4,\\ & x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解はただ 1 つである。双対問題を利用して、その最適解 $(x_1,x_2,x_3)$ をこの順に求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 2x_1+2x_2+3x_3+4x_4\\ \text{subject to}& x_1+x_2+x_3+x_4\le 10,\\ & 2x_1+x_2+3x_3+4x_4\le 22,\\ & x_1+3x_2+x_3+x_4\le 24,\\ & x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0.\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の $i$ 番目（$i=1,2,3$）の不等式制約に対応する双対変数を $y_i$ とし、$(\mathrm{P})$ の双対問題を $(\mathrm{D})$ とする。$(\mathrm{D})$ の最適解はただ $1$ つに定まる。その最適解 $(y_1,y_2,y_3)$ をこの順に求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3$ についての線形計画問題 $(\mathrm{P})$ と、実数 $y_1,y_2,y_3$ についてのその双対問題 $(\mathrm{D})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 3x_1+x_2+4x_3\\ \text{subject to}& x_1+x_2+x_3\le 3,\\ & x_1+2x_2\le 4,\\ & 2x_1+x_2+3x_3\le 7,\\ & x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}$$
$$(\mathrm{D})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 3y_1+4y_2+7y_3\\ \text{subject to}& y_1+y_2+2y_3\ge 3,\\ & y_1+2y_2+y_3\ge 1,\\ & y_1+3y_3\ge 4,\\ & y_1,y_2,y_3\ge 0\end{array}$$
$(x_1,x_2,x_3)=(2,0,1)$ は $(\mathrm{P})$ の最適解であることが知られている。このとき $(\mathrm{D})$ の最適解はただ 1 つに定まる。$(\mathrm{D})$ の最適解を $(y_1,y_2,y_3)$ の組として求めよ。

実数 $x_1,x_2,x_3,x_4$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 4x_1+3x_2+3x_3+6x_4\\ \text{subject to}& x_1+2x_2+x_3+3x_4\ge 8,\\ & 3x_1+x_2+x_3+2x_4\ge 9,\\ & x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の双対問題を作って解き、相補性条件を用いることで、$(\mathrm{P})$ の最適解 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ を求めよ（最適解はただ 1 つに定まる）。答えは組 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ の形で答えよ。

実数 $x_1,x_2$ についての次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{maximize}& 4x_1+3x_2\\ \text{subject to}& x_1+x_2\leqq 5\\ & 2x_1+x_2\leqq 8\\ & x_1+3x_2\leqq 12\\ & x_1\geqq 0,x_2\geqq 0\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解は $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=(3,2)$ である。$(\mathrm{P})$ の双対問題
$$(\mathrm{D})\begin{array}{rl}\text{minimize}& 5y_1+8y_2+12y_3\\ \text{subject to}& y_1+2y_2+y_3\geqq 4\\ & y_1+y_2+3y_3\geqq 3\\ & y_1\geqq 0,y_2\geqq 0,y_3\geqq 0\end{array}$$
の最適解 $(y_1,y_2,y_3)$ を、相補性条件を用いて求めよ。答えは組 $(y_1,y_2,y_3)$ の形で書け。