情報理論・符号理論の問題

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、検査行列
$$H=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$$
で定まる符号長 $7$ のハミング符号 $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^7\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$ を考える。$H$ の第 $j$ 列 $(j=1,2,\dots ,7)$ は、上から読むと $j$ を 2 進法で表した 3 桁の数になっている。

ある符号語を送信したところ、ちょうど 1 か所のビットが反転して
$$\mathbf{y}=(1,1,0,1,1,0,1)$$
を受信した。シンドローム $H{\mathbf{y}}^{\mathsf{T}}$ を計算して、誤りが生じた位置（左から何番目の成分か）を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、$3\times 7$ 行列
$$H=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$$
を検査行列とする符号長 $7$ のハミング符号 $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^7\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$ を考える。$H$ の第 $j$ 列 $(j=1,2,\dots ,7)$ は、上から順に $j$ を 2 進数で表したときの $2^2,2^1,2^0$ の位の数字を並べたものである。

ある符号語 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots ,c_7)\in C$ を送信したところ、通信路で高々 $1$ か所の成分が反転し、受信語
$$\mathbf{y}=(1,0,1,1,0,0,0)$$
を受け取った。シンドローム $H{\mathbf{y}}^{\mathsf{T}}$ を用いて誤りを訂正し、送信された符号語 $\mathbf{c}$ を $(c_1,c_2,\dots ,c_7)$ の形で求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上で、符号長 $4$ の線形符号 $C$ を生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
で定める。すなわち $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}=(a,b)\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ とする。符号語 $\mathbf{c}$ のハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $C$ の $0$ でない符号語の重みの最小値とする。また、重みがちょうど $d$ である符号語の個数を $A_d$ とする。$d$ と $A_d$ をこの順に組 $(d,A_d)$ で求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上の符号長 $4$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}=(u_1,u_2)\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ と定める。符号語のハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $0$ でない符号語の重みの最小値とする。$C$ の最小距離 $d$ と、重みがちょうど $d$ である符号語の個数 $A_d$ を、組 $(d,A_d)$ の形でこの順に求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上の符号長 $4$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ と定める（$\mathbf{u}$ は行ベクトル）。ベクトルのハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $C$ の $0$ でない符号語のハミング重みの最小値とする。また、ハミング重みがちょうど $d$ である符号語の個数を $A_d$ とする。$d$ と $A_d$ をこの順に組 $(d,A_d)$ で求めよ。