情報理論・符号理論の問題

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$（演算は $2$ を法とする）上で、検査行列
$$H=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$$
で定まる符号長 $7$ のハミング符号 $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^7\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$ を考える。$H$ の第 $j$ 列は、$j$ を 2 進法で表したときの各桁を上から $4$ の位・$2$ の位・$1$ の位の順に並べたものである。

ある符号語を送信したところ、ちょうど $1$ か所のビットだけが誤って
$$\mathbf{y}=(0,1,1,1,1,1,0)$$
が受信された。誤りが起きた位置（左から数えて第何成分か）を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、$3\times 7$ 行列
$$H=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$$
を検査行列とする符号長 $7$ のハミング符号 $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^7\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$ を考える。$H$ の第 $j$ 列 $(j=1,2,\dots ,7)$ は、上から順に $j$ を 2 進数で表したときの $2^2,2^1,2^0$ の位の数字を並べたものである。

ある符号語 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots ,c_7)\in C$ を送信したところ、通信路で高々 $1$ か所の成分が反転し、受信語
$$\mathbf{y}=(1,0,1,1,0,0,0)$$
を受け取った。シンドローム $H{\mathbf{y}}^{\mathsf{T}}$ を用いて誤りを訂正し、送信された符号語 $\mathbf{c}$ を $(c_1,c_2,\dots ,c_7)$ の形で求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上の符号長 $6$ の線形符号 $C$ を、検査行列
$$H=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1\end{array}\right)$$
を用いて $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^6\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$ と定める。$C$ の次元 $k$、最小距離 $d$、ハミング重みが $d$ である符号語の個数 $A_d$ を、組 $(k,d,A_d)$ の形でこの順に求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1\end{array}\right)$$
で定まる符号長 $5$ の線形符号 $C$ を考える。$C$ の最小距離を $d$ とし、$t=\lfloor \frac{d-1}{2}\rfloor$ とする。

$C$ の符号語を、各ビットが互いに独立に確率 $p=\frac{1}{10}$ で反転する（$0$ と $1$ が入れ替わる）2 元対称通信路で送信し、受信語を最小距離復号する。ただし、送信語に生じた誤りの個数が $t$ 個以下のときは正しく復号され、$t+1$ 個以上のときは正しく復号されないものとする。

正しく復号される確率を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上の符号長 $6$ の線形符号 $C$ を、検査行列
$$H=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}_2^6\mid H{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}=0\}$ と定める。$C$ の次元 $k$、最小距離 $d$、重み $d$ の符号語の個数 $A_d$ を求め、組 $(k,d,A_d)$ の形で答えよ。