反応速度論の問題

一定温度・一定体積のもとで、気体 $\mathrm{A}$ が高温の金属表面で分解する反応 $\mathrm{A}\to \text{生成物}$ を調べた。この反応の速度式は $$-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k[\mathrm{A}{]}^n$$ で表され、反応次数 $n$ は $0,1,2$ のいずれかであることがわかっている（$k$ は速度定数）。$\mathrm{A}$ の初濃度を変えて半減期 $t_{1/2}$ を測定したところ、次の結果を得た。

• 初濃度 $[\mathrm{A}{]}_0=2.00\times 10^{-3}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ のとき $t_{1/2}=120\mathrm{s}$
• 初濃度 $[\mathrm{A}{]}_0=5.00\times 10^{-3}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ のとき $t_{1/2}=300\mathrm{s}$

同じ温度で、$\mathrm{A}$ の初濃度を $4.00\times 10^{-3}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ として反応を開始したとき、$\mathrm{A}$ の濃度が $1.00\times 10^{-3}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ になるまでの時間は何秒か。有効数字 3 桁で求めよ。

一定温度で、物質 $\mathrm{A}$ の分解反応は速度式
$$-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k[\mathrm{A}{]}^2$$
にしたがう 2 次反応であり、速度定数は $k=0.040\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ である。$\mathrm{A}$ の初濃度が $[\mathrm{A}{]}_0=0.50\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ のとき、$[\mathrm{A}]$ が $0.20\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ になるのは反応開始から何秒後か。有効数字 2 桁で求めよ。

一定温度・一定体積の容器に純粋な気体 $\mathrm{A}$ だけを入れたところ、次の不可逆反応が進行した。
$$\mathrm{A}(\mathrm{g})⟶\mathrm{B}(\mathrm{g})+2\mathrm{C}(\mathrm{g})$$
$\mathrm{A}$ の分圧を $p_{\mathrm{A}}$ とすると、速度式は
$$-\frac{d{p}_{\mathrm{A}}}{dt}=k{p}_{\mathrm{A}}^n$$
で表される。ここで $k$ は正の定数、反応次数 $n$ は実数の定数であり、どちらも未知である。反応開始時（$t=0$）の全圧は $40.0\mathrm{kPa}$ であった。容器内の全圧を測定したところ、全圧は $t=250\mathrm{s}$ で $80.0\mathrm{kPa}$、$t=750\mathrm{s}$ で $100.0\mathrm{kPa}$ に達した。気体はすべて理想気体とみなし、$\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ はこれ以上反応しないものとする。全圧が $112.0\mathrm{kPa}$ に達する時刻 $t$ は何秒か。正確な値を求めよ。

一定温度・一定体積の溶液中で、物質 $\mathrm{A}$ は次の 2 つの一次反応によって並発的に分解する。
$$\mathrm{A}\stackrel{k_1}{\to }\mathrm{B},\mathrm{A}\stackrel{k_3}{\to }\mathrm{D}$$
さらに、生成した $\mathrm{B}$ は一次反応 $\mathrm{B}\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{C}$ によって $\mathrm{C}$ に変化する。$\mathrm{C}$ と $\mathrm{D}$ はそれ以上反応せず、これ以外の反応（逆反応を含む）は起こらないものとする。

時刻 $t=0$ で $[\mathrm{A}{]}_0=0.200\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$、$[\mathrm{B}]=[\mathrm{C}]=[\mathrm{D}]=0$ とした。実験から次のことがわかっている。

• $\mathrm{A}$ の濃度が半分になるまでの時間（半減期）は $20.0\min$ である。
• 反応が完全に終わったとき、$[\mathrm{D}]=0.0500\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ であった。
• 同じ温度で、$\mathrm{B}$ だけを含む溶液を別に用意して反応させると、$\mathrm{B}$ の半減期は $10.0\min$ であった（速度定数 $k_2$ は上の実験と同じとする）。

上の実験で、中間体 $\mathrm{B}$ の濃度が最大になるときの $[\mathrm{B}]$ の値は何 $\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある酵素反応 $\mathrm{S}\to \mathrm{P}$ の速度は、反応の進行中つねにミカエリス・メンテンの式
$$-\frac{d[\mathrm{S}]}{dt}=\frac{V_{\max }[\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{M}}+[\mathrm{S}]}$$
に従うとする。ここで $V_{\max }=0.50\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$、$K_{\mathrm{M}}=1.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ は定数である。時刻 $t=0$ で基質濃度は $[\mathrm{S}{]}_0=4.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$、生成物は存在しない。基質の半分が P に変換される（$[\mathrm{S}]=2.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ になる）までの時間を、単位を $\min$ として、自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。