量子化学の問題

原子核の電荷が $+Ze$ の水素型原子（電子 1 個）の束縛状態のエネルギーは、非相対論的なシュレーディンガー方程式により
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}{E}_{\mathrm{H}}(n=1,2,3,\dots )$$
で与えられる。ここで $E_{\mathrm{H}}(>0)$ は定数で、$-E_{\mathrm{H}}$ は水素原子（$Z=1$）の基底状態のエネルギーに等しい。軌道（波動関数）は主量子数 $n$、方位量子数 $l$、磁気量子数 $m_l$ の組 $(n,l,m_l)$ で指定される。

$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）について、エネルギーが水素原子の基底状態のエネルギー $-E_{\mathrm{H}}$ 以下であるような軌道をすべて考える。これらの軌道のうち、動径方向の節（動径関数が $0$ になる $r$ の値で、$r=0$ と $r\to \infty$ は含めない）をちょうど 1 個もつ軌道は何個あるか。ただし、スピンは考えず、$(n,l,m_l)$ の組 1 つを軌道 1 個と数える。

ある二原子分子の振動を調和振動子、回転を剛体回転子とみなし、振動と回転の相互作用は無視する。このとき、振動量子数 $v$、回転量子数 $J$ の準位のエネルギーは波数単位で
$$\tilde{E}(v,J)=\tilde{\omega }\left(v+\frac{1}{2}\right)+\tilde{B}J(J+1)(v=0,1,2,\dots ;J=0,1,2,\dots )$$
と表される。この分子では $\tilde{\omega }=2000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、$\tilde{B}=2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ とする（いずれも正確な値とする）。また、回転量子数 $J$ の準位は磁気量子数 $M_J=-J,\dots ,J$ による $(2J+1)$ 重の縮退をもつ。

$v=1,J=0$ の準位よりもエネルギーが厳密に低い状態の総数を、縮退している状態を 1 つずつ数えて求めよ。ただし、核スピンや電子状態の違いは考えない。

水素分子 ${\mathrm{H}}_2$（${}^1{\mathrm{H}}_2$）と重水素分子 ${\mathrm{D}}_2$（${}^2{\mathrm{H}}_2$）の振動を調和振動子とみなす。振動エネルギー準位は波数単位で
$$\tilde{G}(v)=\tilde{\nu }\left(v+\frac{1}{2}\right)(v=0,1,2,\dots ),\tilde{\nu }=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu }}$$
で与えられる。ここで $k$ は力の定数、$\mu$ は換算質量、$c$ は光速である。${\mathrm{H}}_2$ の振動波数は $\tilde{\nu }({\mathrm{H}}_2)=4401\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。原子の質量を $m(\mathrm{H})=1.008\mathrm{u}$、$m(\mathrm{D})=2.014\mathrm{u}$ とする。

ボルン・オッペンハイマー近似により、${\mathrm{H}}_2$ と ${\mathrm{D}}_2$ のポテンシャルエネルギー曲線（したがって力の定数 $k$ と、ポテンシャルの底から測った解離エネルギー $D_e$）は同じであるとする。振動の基底状態 $v=0$ から測った解離エネルギーを $D_0$ とするとき、差 $D_0({\mathrm{D}}_2)-D_0({\mathrm{H}}_2)$ を $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし回転の寄与と非調和性は無視する。

二原子分子 ${}^1{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$ を剛体回転子とみなすと、回転エネルギー準位は波数単位で
$$\tilde{F}(J)=\tilde{B}J(J+1)(J=0,1,2,\dots ),\tilde{B}=\frac{h}{8{\pi }^{2}c\mu r^2}$$
と表される。ここで $\mu$ は換算質量、$r$ は核間距離である。${}^1{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$ の純回転スペクトルで、$J=0\to 1$ の遷移による吸収線が $21.6\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ に観測された。

同位体置換した ${}^2{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$（${\mathrm{D}}^{35}\mathrm{Cl}$）の $J=0\to 1$ の吸収線の波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$: $1$、${}^2\mathrm{H}$: $2$、${}^{35}\mathrm{Cl}$: $35$（いずれも同じ単位）とし、同位体置換によって核間距離 $r$ は変わらないものとする。

原子番号 $Z$ の水素型原子（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）の電子のエネルギー準位は、主量子数を $n$（正の整数）として
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}R,R=13.6\mathrm{eV}$$
で与えられるとする。$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）の電子が $n=3$ の準位から $n=2$ の準位に遷移するときに放出される光子のエネルギーを、単位を $\mathrm{eV}$ として、有効数字 3 桁で求めよ。