量子化学の問題

原子核の電荷が $+Ze$ の水素型原子（電子 1 個）の束縛状態のエネルギーは、非相対論的なシュレーディンガー方程式により
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}{E}_{\mathrm{H}}(n=1,2,3,\dots )$$
で与えられる。ここで $E_{\mathrm{H}}(>0)$ は定数で、$-E_{\mathrm{H}}$ は水素原子（$Z=1$）の基底状態のエネルギーに等しい。軌道（波動関数）は主量子数 $n$、方位量子数 $l$、磁気量子数 $m_l$ の組 $(n,l,m_l)$ で指定される。

$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）について、エネルギーが水素原子の基底状態のエネルギー $-E_{\mathrm{H}}$ 以下であるような軌道をすべて考える。これらの軌道のうち、動径方向の節（動径関数が $0$ になる $r$ の値で、$r=0$ と $r\to \infty$ は含めない）をちょうど 1 個もつ軌道は何個あるか。ただし、スピンは考えず、$(n,l,m_l)$ の組 1 つを軌道 1 個と数える。

水素型イオン $\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（原子番号 $Z=3$）を考える。非相対論的なシュレーディンガー方程式に基づき、原子核は静止しているとみなす。このとき、主量子数 $n$ の準位のエネルギーは
$$E_n=-\frac{Z^{2}R}{n^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で与えられる。ここで $R(>0)$ は定数であり、$-R$ は水素原子の基底状態のエネルギーに等しい。微細構造などスピンに依存する効果は無視する。

$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$ の電子の状態のうち、次の 2 つの条件をともに満たすものの数を求めよ。ただし、状態は量子数の組 $(n,l,m_l,m_s)$ で区別して数える（スピンの 2 状態を別々に数える）。

• 条件 1：エネルギー $E$ が $-\frac{3}{4}R\le E\le -\frac{1}{6}R$ を満たす。
• 条件 2：その状態の空間軌道の動径節（$r=0$ と $r\to \infty$ を除く、動径波動関数が $0$ になる $r$ の値）の数がちょうど $1$ 個である。

マンガン $\mathrm{Mn}$（原子番号 $25$）の 2 価の陽イオン $\mathrm{M}{\mathrm{n}}^{2+}$ の基底状態について、不対電子の数を求めよ。ただし、中性原子の電子は $1\mathrm{s},2\mathrm{s},2\mathrm{p},3\mathrm{s},3\mathrm{p},4\mathrm{s},3\mathrm{d}$ の順に軌道に入り（構成原理）、1 つの軌道には電子が 2 個まで入る（パウリの原理）。縮退した軌道に電子が入るときは、できるだけ別々の軌道にスピンをそろえて入る（フントの規則）。また、遷移金属の陽イオンができるときは、$3\mathrm{d}$ 軌道より先に $4\mathrm{s}$ 軌道の電子が取り去られるものとする。

質量 $m$ の粒子が、長さ $L$ の 1 次元の箱 $0\le x\le L$ の中を運動している。箱の中ではポテンシャルエネルギーは $0$、箱の外では無限大であり、波動関数は $x=0$ と $x=L$ で $0$ になる。プランク定数を $h$ とする。この粒子の量子数 $n=3$ の準位と $n=2$ の準位のエネルギー差 $E_3-E_2$ を、$h$, $m$, $L$ を用いて表せ。ただし $m$, $L$, $h$ は正の定数とする。

ある原子の励起状態で、閉殻の外に $2p$ 電子 1 個と $3d$ 電子 1 個があり、電子配置が $2p^{1}3d^1$ である。この 2 個の電子は非等価な電子（主量子数が異なる）であり、$LS$ 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つとする。この電子配置から生じるすべての項 ${}^{2S+1}L$ について、全角運動量量子数 $J$ で区別される準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ を列挙するとき、準位は全部で何個あるか求めよ。