量子化学の問題

炭素原子の励起電子配置 $1s^{2}2s^{2}2p^{1}3d^1$ を考える。ラッセル・ソーンダース（$LS$）結合が成り立つとする。この電子配置から生じるすべての項（${}^{2S+1}L$）は、スピン軌道相互作用によって全角運動量量子数 $J$ の異なる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ に分裂する。外部磁場はないものとする。この電子配置から生じる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$（$L$, $S$, $J$ の組が異なるものを別の準位として数える）は全部で何個あるか。整数で答えよ。

気体状態のバナジウム(III)イオン ${\mathrm{V}}^{3+}$ の基底状態の電子配置は $[\mathrm{Ar}]3d^2$ であり、不完全殻は $3d$ 殻（電子 $2$ 個）だけである。$LS$ 結合が成り立つとして、フントの規則によってこのイオンの基底準位の項記号 ${}^{2S+1}{L}_J$ を決めるとき、全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を求め、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に答えよ。

原子番号 $Z$ の水素型原子（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）の電子のエネルギー準位は、主量子数を $n$（正の整数）として
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}R,R=13.6\mathrm{eV}$$
で与えられるとする。$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）の電子が $n=3$ の準位から $n=2$ の準位に遷移するときに放出される光子のエネルギーを、単位を $\mathrm{eV}$ として、有効数字 3 桁で求めよ。

アリルラジカル $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_2=\mathrm{CH}-\mathrm{C}{\mathrm{H}}_2\cdot$ の $\pi$ 電子系を単純ヒュッケル法で扱う。3 個の炭素原子を端から順に ${\mathrm{C}}_1$, ${\mathrm{C}}_2$, ${\mathrm{C}}_3$ とし、結合しているのは ${\mathrm{C}}_1$–${\mathrm{C}}_2$ と ${\mathrm{C}}_2$–${\mathrm{C}}_3$ の 2 組だけである（${\mathrm{C}}_1$ と ${\mathrm{C}}_3$ は結合していない）。クーロン積分を $\alpha$、隣接する炭素間の共鳴積分を $\beta$（$\beta \ne 0$）とし、隣接しない炭素間の共鳴積分と、異なる原子の $2p$ 軌道どうしの重なり積分はすべて $0$ とする。$x=\frac{\alpha -E}{\beta }$ とおいたとき、永年方程式を満たす実数 $x$ の値をすべて求めよ。

マンガン $\mathrm{Mn}$（原子番号 $25$）の 2 価の陽イオン $\mathrm{M}{\mathrm{n}}^{2+}$ の基底状態について、不対電子の数を求めよ。ただし、中性原子の電子は $1\mathrm{s},2\mathrm{s},2\mathrm{p},3\mathrm{s},3\mathrm{p},4\mathrm{s},3\mathrm{d}$ の順に軌道に入り（構成原理）、1 つの軌道には電子が 2 個まで入る（パウリの原理）。縮退した軌道に電子が入るときは、できるだけ別々の軌道にスピンをそろえて入る（フントの規則）。また、遷移金属の陽イオンができるときは、$3\mathrm{d}$ 軌道より先に $4\mathrm{s}$ 軌道の電子が取り去られるものとする。