量子化学の問題

ある原子の励起状態で、閉殻の外に $2p$ 電子 1 個と $3d$ 電子 1 個があり、電子配置が $2p^{1}3d^1$ である。この 2 個の電子は非等価な電子（主量子数が異なる）であり、$LS$ 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つとする。この電子配置から生じるすべての項 ${}^{2S+1}L$ について、全角運動量量子数 $J$ で区別される準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ を列挙するとき、準位は全部で何個あるか求めよ。

気体状態のネオジム(III)イオン $\mathrm{N}{\mathrm{d}}^{3+}$（不完全殻は $4f^3$）の基底準位は、$LS$ 結合で ${}^4{I}_{9/2}$ である。すなわち $S=\frac{3}{2}$、$L=6$、$J=\frac{9}{2}$ である。この基底準位のランデの $g$ 因子
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
を求めよ。答えは既約分数で表せ。

マンガン $\mathrm{Mn}$（原子番号 $25$）の 2 価の陽イオン $\mathrm{M}{\mathrm{n}}^{2+}$ の基底状態について、不対電子の数を求めよ。ただし、中性原子の電子は $1\mathrm{s},2\mathrm{s},2\mathrm{p},3\mathrm{s},3\mathrm{p},4\mathrm{s},3\mathrm{d}$ の順に軌道に入り（構成原理）、1 つの軌道には電子が 2 個まで入る（パウリの原理）。縮退した軌道に電子が入るときは、できるだけ別々の軌道にスピンをそろえて入る（フントの規則）。また、遷移金属の陽イオンができるときは、$3\mathrm{d}$ 軌道より先に $4\mathrm{s}$ 軌道の電子が取り去られるものとする。

炭素原子の励起電子配置 $1s^{2}2s^{2}2p^{1}3d^1$ を考える。ラッセル・ソーンダース（$LS$）結合が成り立つとする。この電子配置から生じるすべての項（${}^{2S+1}L$）は、スピン軌道相互作用によって全角運動量量子数 $J$ の異なる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ に分裂する。外部磁場はないものとする。この電子配置から生じる準位 ${}^{2S+1}{L}_J$（$L$, $S$, $J$ の組が異なるものを別の準位として数える）は全部で何個あるか。整数で答えよ。

酸素分子イオン ${\mathrm{O}}_2^{+}$ を考える。酸素原子の原子番号は $8$ である。内殻の $1s$ 電子からできる分子軌道は考えず、$2s$ と $2p$ の原子軌道からできる分子軌道だけに価電子を入れる。分子軌道のエネルギーは低い方から
$${\sigma }_{2s}<{\sigma }_{2s}^{\ast }<{\sigma }_{2p}<{\pi }_{2p}<{\pi }_{2p}^{\ast }<{\sigma }_{2p}^{\ast }$$
の順とし、${\pi }_{2p}$ と ${\pi }_{2p}^{\ast }$ はそれぞれエネルギーの等しい 2 つの軌道からなる。$\ast$ の付いた軌道は反結合性軌道、付いていない軌道は結合性軌道である。${\mathrm{O}}_2^{+}$ の基底状態の結合次数を求めよ。答えは分数で表せ。