量子化学の問題

気体状態のバナジウム(III)イオン ${\mathrm{V}}^{3+}$ の基底状態の電子配置は $[\mathrm{Ar}]3d^2$ であり、不完全殻は $3d$ 殻（電子 $2$ 個）だけである。$LS$ 結合が成り立つとして、フントの規則によってこのイオンの基底準位の項記号 ${}^{2S+1}{L}_J$ を決めるとき、全スピン量子数 $S$、全軌道角運動量量子数 $L$、全角運動量量子数 $J$ を求め、組 $(S,L,J)$ の形でこの順に答えよ。

気体状態の孤立した $\mathrm{N}{\mathrm{i}}^{2+}$ イオン（Ni の原子番号は 28）を考える。このイオンの基底電子配置は $[\mathrm{Ar}]3d^8$ である。$LS$ 結合（ラッセル・ソーンダース結合）が成り立つとし、フントの規則に従って基底準位（項記号 ${}^{2S+1}{L}_J$ で表される準位）を決める。

基底準位のランデの $g$ 因子は、電子スピンの $g$ 因子を $2$ と近似した次の式で与えられるものとする。
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
また、基底準位の有効磁気モーメントを
$${\mu }_{\mathrm{eff}}=g_J\sqrt{J(J+1)}{\mu }_{\mathrm{B}}$$
と定義する（${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子）。

$\mathrm{N}{\mathrm{i}}^{2+}$ の基底準位の ${\mu }_{\mathrm{eff}}$ を、${\mu }_{\mathrm{B}}$ を単位として正確な値（根号を含む形）で求めよ。

酸素分子イオン ${\mathrm{O}}_2^{+}$ を考える。酸素原子の原子番号は $8$ である。内殻の $1s$ 電子からできる分子軌道は考えず、$2s$ と $2p$ の原子軌道からできる分子軌道だけに価電子を入れる。分子軌道のエネルギーは低い方から
$${\sigma }_{2s}<{\sigma }_{2s}^{\ast }<{\sigma }_{2p}<{\pi }_{2p}<{\pi }_{2p}^{\ast }<{\sigma }_{2p}^{\ast }$$
の順とし、${\pi }_{2p}$ と ${\pi }_{2p}^{\ast }$ はそれぞれエネルギーの等しい 2 つの軌道からなる。$\ast$ の付いた軌道は反結合性軌道、付いていない軌道は結合性軌道である。${\mathrm{O}}_2^{+}$ の基底状態の結合次数を求めよ。答えは分数で表せ。

ある異核二原子分子の回転を剛体回転子とみなす。回転エネルギー準位（波数単位）は、回転量子数を $J$（$0$ 以上の整数）として
$$\tilde{F}(J)=\tilde{B}J(J+1)$$
で表され、この分子の回転定数は $\tilde{B}=2.0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。この分子が光を吸収して $J=2$ の準位から $J=3$ の準位に移る回転遷移の波数を、単位を $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ として求めよ。

原子番号 $Z$ の水素型原子（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）の電子のエネルギー準位は、主量子数を $n$（正の整数）として
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}R,R=13.6\mathrm{eV}$$
で与えられるとする。$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）の電子が $n=3$ の準位から $n=2$ の準位に遷移するときに放出される光子のエネルギーを、単位を $\mathrm{eV}$ として、有効数字 3 桁で求めよ。