量子化学の問題

ある等核二原子分子の振動を調和振動子とみなす。2 個の原子の質量はどちらも $m=2.0\times 10^{-26}\mathrm{kg}$、結合の力の定数は $k=4.0\times 10^2\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。この分子の振動数 $\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{\mu }}$（$\mu$ は換算質量）を、単位を $\mathrm{Hz}$ として、$\pi$ を含む正確な値で求めよ。

原子番号 $Z$ の水素型原子（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）の電子のエネルギー準位は、主量子数を $n$（正の整数）として
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}R,R=13.6\mathrm{eV}$$
で与えられるとする。$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）の電子が $n=3$ の準位から $n=2$ の準位に遷移するときに放出される光子のエネルギーを、単位を $\mathrm{eV}$ として、有効数字 3 桁で求めよ。

二原子分子 ${}^1{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$ を剛体回転子とみなすと、回転エネルギー準位は波数単位で
$$\tilde{F}(J)=\tilde{B}J(J+1)(J=0,1,2,\dots ),\tilde{B}=\frac{h}{8{\pi }^{2}c\mu r^2}$$
と表される。ここで $\mu$ は換算質量、$r$ は核間距離である。${}^1{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$ の純回転スペクトルで、$J=0\to 1$ の遷移による吸収線が $21.6\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ に観測された。

同位体置換した ${}^2{\mathrm{H}}^{35}\mathrm{Cl}$（${\mathrm{D}}^{35}\mathrm{Cl}$）の $J=0\to 1$ の吸収線の波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$: $1$、${}^2\mathrm{H}$: $2$、${}^{35}\mathrm{Cl}$: $35$（いずれも同じ単位）とし、同位体置換によって核間距離 $r$ は変わらないものとする。

ある二原子分子の振動を調和振動子、回転を剛体回転子とみなし、振動と回転の相互作用は無視する。このとき、振動量子数 $v$、回転量子数 $J$ の準位のエネルギーは波数単位で
$$\tilde{E}(v,J)=\tilde{\omega }\left(v+\frac{1}{2}\right)+\tilde{B}J(J+1)(v=0,1,2,\dots ;J=0,1,2,\dots )$$
と表される。この分子では $\tilde{\omega }=2000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、$\tilde{B}=2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ とする（いずれも正確な値とする）。また、回転量子数 $J$ の準位は磁気量子数 $M_J=-J,\dots ,J$ による $(2J+1)$ 重の縮退をもつ。

$v=1,J=0$ の準位よりもエネルギーが厳密に低い状態の総数を、縮退している状態を 1 つずつ数えて求めよ。ただし、核スピンや電子状態の違いは考えない。

質量 $m$ の粒子が、長さ $L$ の 1 次元の箱 $0\le x\le L$ の中を運動している。箱の中ではポテンシャルエネルギーは $0$、箱の外では無限大であり、波動関数は $x=0$ と $x=L$ で $0$ になる。プランク定数を $h$ とする。この粒子の量子数 $n=3$ の準位と $n=2$ の準位のエネルギー差 $E_3-E_2$ を、$h$, $m$, $L$ を用いて表せ。ただし $m$, $L$, $h$ は正の定数とする。