量子化学の問題

ある異核二原子分子の回転を剛体回転子とみなす。回転エネルギー準位（波数単位）は、回転量子数を $J$（$0$ 以上の整数）として
$$\tilde{F}(J)=\tilde{B}J(J+1)$$
で表され、この分子の回転定数は $\tilde{B}=2.0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。この分子が光を吸収して $J=2$ の準位から $J=3$ の準位に移る回転遷移の波数を、単位を $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ として求めよ。

ある原子の励起状態で、閉殻の外に $2p$ 電子 1 個と $3d$ 電子 1 個があり、電子配置が $2p^{1}3d^1$ である。この 2 個の電子は非等価な電子（主量子数が異なる）であり、$LS$ 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つとする。この電子配置から生じるすべての項 ${}^{2S+1}L$ について、全角運動量量子数 $J$ で区別される準位 ${}^{2S+1}{L}_J$ を列挙するとき、準位は全部で何個あるか求めよ。

水素分子 ${\mathrm{H}}_2$（${}^1{\mathrm{H}}_2$）と重水素分子 ${\mathrm{D}}_2$（${}^2{\mathrm{H}}_2$）の振動を調和振動子とみなす。振動エネルギー準位は波数単位で
$$\tilde{G}(v)=\tilde{\nu }\left(v+\frac{1}{2}\right)(v=0,1,2,\dots ),\tilde{\nu }=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu }}$$
で与えられる。ここで $k$ は力の定数、$\mu$ は換算質量、$c$ は光速である。${\mathrm{H}}_2$ の振動波数は $\tilde{\nu }({\mathrm{H}}_2)=4401\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。原子の質量を $m(\mathrm{H})=1.008\mathrm{u}$、$m(\mathrm{D})=2.014\mathrm{u}$ とする。

ボルン・オッペンハイマー近似により、${\mathrm{H}}_2$ と ${\mathrm{D}}_2$ のポテンシャルエネルギー曲線（したがって力の定数 $k$ と、ポテンシャルの底から測った解離エネルギー $D_e$）は同じであるとする。振動の基底状態 $v=0$ から測った解離エネルギーを $D_0$ とするとき、差 $D_0({\mathrm{D}}_2)-D_0({\mathrm{H}}_2)$ を $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし回転の寄与と非調和性は無視する。

原子番号 $Z$ の水素型原子（電子を 1 個だけもつ原子・イオン）の電子のエネルギー準位は、主量子数を $n$（正の整数）として
$$E_n=-\frac{Z^2}{n^2}R,R=13.6\mathrm{eV}$$
で与えられるとする。$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$（$Z=3$）の電子が $n=3$ の準位から $n=2$ の準位に遷移するときに放出される光子のエネルギーを、単位を $\mathrm{eV}$ として、有効数字 3 桁で求めよ。

質量 $m$ の粒子が、長さ $L$ の 1 次元の箱 $0\le x\le L$ の中を運動している。箱の中ではポテンシャルエネルギーは $0$、箱の外では無限大であり、波動関数は $x=0$ と $x=L$ で $0$ になる。プランク定数を $h$ とする。この粒子の量子数 $n=3$ の準位と $n=2$ の準位のエネルギー差 $E_3-E_2$ を、$h$, $m$, $L$ を用いて表せ。ただし $m$, $L$, $h$ は正の定数とする。