この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

電場と電位・コンデンサーの問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電場と電位・コンデンサー

極板の面積が $S$ 、極板の間隔が $d$ の平行板コンデンサーがある。極板の間に、極板と同じ形で面積が $S$ 、厚さが $\frac{d}{2}$ 、比誘電率が $3$ の誘電体の板を、極板と平行に、一方の極板に接するように入れた。残りのすき間は空気である。空気の誘電率は真空の誘電率 $ε_{0}$ と等しいとみなし、極板の端での電場の乱れは無視する。このコンデンサーの電気容量を、 $ε_{0}$ , $S$ , $d$ を用いて表せ。

誘電体（比誘電率

3

）空気

d

\frac{d}{2}

極板を横から見た図（極板の面積は

S

）

この問題で使うもの

誘電体・金属板を部分的に入れたコンデンサー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「誘電体・金属板を部分的に入れたコンデンサー」を使います。極板と平行に厚さの一部だけ誘電体を入れたときは、空気の層と誘電体の層の 2 つのコンデンサーを直列につないだものとみなします。

ヒント 2

それぞれの層を、面積 $S$ ・間隔 $\frac{d}{2}$ の平行板コンデンサーとして $C = ε_{r} ε_{0} \frac{S}{d ^{'}}$ で電気容量を求め、直列の合成容量 $\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ を使います。

ヒント 3

空気の層は $C_{1} = \frac{2 ε _{0} S}{d}$ 、誘電体の層は $C_{2} = \frac{6 ε _{0} S}{d}$ です。あとは $\frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}}$ を通分して計算します。

答えと解説

答えを見る

\frac{3 ε _{0} S}{2 d}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

誘電体の板は極板と平行に、極板の面積 $S$ 全体をおおうように入っています。このとき、極板間は「空気の層（厚さ $\frac{d}{2}$ ）」と「誘電体の層（厚さ $\frac{d}{2}$ ）」が重なっていると考えられます。2 つの層の境目に、面積 $S$ のうすい極板があると考えても電場のようすは変わらないので、このコンデンサーは 2 つのコンデンサーを直列につないだものとみなせます。

空気の層の電気容量 $C_{1}$ ：面積 $S$ 、間隔 $\frac{d}{2}$ なので
$C_{1} = ε_{0} \frac{S}{\frac{d}{2}} = \frac{2 ε _{0} S}{d}$

誘電体の層の電気容量 $C_{2}$ ：比誘電率 $3$ 、面積 $S$ 、間隔 $\frac{d}{2}$ なので
$C_{2} = 3 ε_{0} \frac{S}{\frac{d}{2}} = \frac{6 ε _{0} S}{d}$

直列の合成容量 $C$ ：
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}} = \frac{d}{2 ε _{0} S} + \frac{d}{6 ε _{0} S} = \frac{3 d + d}{6 ε _{0} S} = \frac{4 d}{6 ε _{0} S} = \frac{2 d}{3 ε _{0} S}$
よって
$C = \frac{3 ε _{0} S}{2 d}$

（誘電体を入れる前の電気容量 $ε_{0} \frac{S}{d}$ の $\frac{3}{2}$ 倍で、全体を誘電体で満たしたときの $3$ 倍よりは小さくなっています。）

別解

誘電体の板を入れた部分と空気の部分は直列接続のコンデンサーとみなせる。

誘電体部分（厚さ $\frac{d}{2}$ 、誘電率 $3 ε_{0}$ ）の容量：
$C_{1} = \frac{3 ε _{0} S}{d /2} = \frac{6 ε _{0} S}{d}$

空気部分（厚さ $\frac{d}{2}$ 、誘電率 $ε_{0}$ ）の容量：
$C_{2} = \frac{ε _{0} S}{d /2} = \frac{2 ε _{0} S}{d}$

直列の合成容量：
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}} = \frac{d}{6 ε _{0} S} + \frac{d}{2 ε _{0} S} = \frac{d}{6 ε _{0} S} + \frac{3 d}{6 ε _{0} S} = \frac{4 d}{6 ε _{0} S} = \frac{2 d}{3 ε _{0} S}$

よって $C = \frac{3 ε _{0} S}{2 d}$ 。

検算：電荷 $Q$ のとき、電場は空気中で $E_{0} = \frac{Q}{ε _{0} S}$ 、誘電体中で $\frac{E _{0}}{3}$ 。電圧は $V = E_{0} \frac{d}{2} + \frac{E _{0}}{3} \frac{d}{2} = \frac{2 E _{0} d}{3} = \frac{2 Q d}{3 ε _{0} S}$ 。したがって $C = Q / V = \frac{3 ε _{0} S}{2 d}$ となり一致する。

電場と電位・コンデンサーの問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題