分光学と構造解析の問題

${}^{12}{\mathrm{C}}^{16}\mathrm{O}$ 分子の赤外吸収スペクトルで、振動基本音 $(v=0\to 1)$ の回転構造を観測した。$\mathrm{R}$ 枝の $\mathrm{R}(0)$ 線 $(J=0\to J^{\prime }=1)$ は $2146.84\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、$\mathrm{P}$ 枝の $\mathrm{P}(1)$ 線 $(J=1\to J^{\prime }=0)$ は $2139.16\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ に現れた。

分子は調和振動子かつ剛体回転子とみなし、回転定数は $v=0$ と $v=1$ で等しいとする。また、同位体置換によって力の定数と結合距離は変化しないものとする。原子の質量を ${}^{12}\mathrm{C}=12.0000\mathrm{u}$、${}^{13}\mathrm{C}=13.0034\mathrm{u}$、${}^{16}\mathrm{O}=15.9949\mathrm{u}$ とする。

このとき、${}^{13}{\mathrm{C}}^{16}\mathrm{O}$ 分子の振動基本音の $\mathrm{R}(0)$ 線の波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 5 桁で求めよ。

${}^1{\mathrm{H}}^{19}\mathrm{F}$ 分子の振動を調和振動子とみなしたとき、その振動波数は $\tilde{\nu }=4140\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。水素を重水素に置き換えた ${}^2{\mathrm{H}}^{19}\mathrm{F}$ 分子の振動波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$: $1.00\mathrm{u}$、${}^2\mathrm{H}$: $2.00\mathrm{u}$、${}^{19}\mathrm{F}$: $19.0\mathrm{u}$ とし、同位体置換によって結合の力の定数は変わらないものとする。

ある異核二原子分子の気体の赤外吸収スペクトルで、$v=0\to 1$ の振動回転遷移を観測した。R 枝の線 $\mathrm{R}(0)$ の波数は $2925.40\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、P 枝の線 $\mathrm{P}(1)$ の波数は $2884.60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ であった。線の波数は、振動の基本波数 ${\tilde{\nu }}_0$ と回転定数 $B$（$v=0$ と $v=1$ で等しいとする）を用いて
$$\mathrm{R}(J)={\tilde{\nu }}_0+2B(J+1),\mathrm{P}(J)={\tilde{\nu }}_0-2BJ$$
で表されるものとする（$J$ は始状態 $v=0$ の回転量子数）。この分子の回転定数 $B$ は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

炭素・水素・酸素だけからなる純粋な有機化合物 $\mathrm{A}$ について、次の実験結果を得た。

1. $\mathrm{A}$ $21.93\mathrm{mg}$ を酸素中で完全燃焼させた。生じた二酸化炭素と水をすべて吸収させて質量をはかったところ、$\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ は $66.02\mathrm{mg}$、${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ は $13.51\mathrm{mg}$ であった。
2. 電子イオン化質量スペクトルでは、分子イオンピーク（最も軽い同位体だけからなる分子イオン）が $m/z=146$ に現れた。
3. $\mathrm{A}$ $0.2924\mathrm{g}$ を白金触媒を用いて水素化した。この条件では、分子中のすべての $\pi$ 結合（$\mathrm{C}=\mathrm{C}$、$\mathrm{C}\equiv \mathrm{C}$、$\mathrm{C}=\mathrm{O}$、芳香環の $\pi$ 結合を含む）が完全に飽和される。水素化分解や開環などの副反応は起こらないものとする。このとき吸収された水素の体積は、$25{}^{\circ }\mathrm{C}$、$1.00\times 10^5\mathrm{Pa}$ で $198.3\mathrm{mL}$ であった。

原子量を $\mathrm{C}=12.011$、$\mathrm{H}=1.008$、$\mathrm{O}=15.999$、気体定数を $R=8.314\mathrm{J}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$、$25{}^{\circ }\mathrm{C}=298.15\mathrm{K}$ とし、水素は理想気体とみなす。$\mathrm{A}$ の 1 分子に含まれる環の数を整数で求めよ。

ある色素の水溶液 A がある。この色素の波長 $520\mathrm{nm}$ におけるモル吸光係数は $\epsilon =1.50\times 10^4\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。溶液 A を $10.0\mathrm{mL}$ とり、水で正確に $50.0\mathrm{mL}$ に希釈した。この希釈溶液を光路長 $0.500\mathrm{cm}$ のセルに入れ、波長 $520\mathrm{nm}$ で測定したところ、透過率は $40.0\%$ であった。溶液 A 中の色素のモル濃度は何 $\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、ランベルト・ベールの法則が成り立ち、水（溶媒）とセルによる吸収・反射は対照測定により補正されているものとする。また、${\log }_{10}2=0.30103$ とする。