分光学と構造解析の問題

${}^1{\mathrm{H}}^{19}\mathrm{F}$ 分子の振動を調和振動子とみなしたとき、その振動波数は $\tilde{\nu }=4140\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ である。水素を重水素に置き換えた ${}^2{\mathrm{H}}^{19}\mathrm{F}$ 分子の振動波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、原子の質量は ${}^1\mathrm{H}$: $1.00\mathrm{u}$、${}^2\mathrm{H}$: $2.00\mathrm{u}$、${}^{19}\mathrm{F}$: $19.0\mathrm{u}$ とし、同位体置換によって結合の力の定数は変わらないものとする。

一硫化炭素 ${}^{12}{\mathrm{C}}^{32}\mathrm{S}$ 分子を剛体回転子とみなす。この分子のマイクロ波吸収スペクトルでは、回転量子数 $J=1$ から $J=2$ への遷移（$J=2\leftarrow 1$）による吸収が周波数 $97.98\mathrm{GHz}$ に観測された。${}^{12}\mathrm{C}$ と ${}^{32}\mathrm{S}$ の原子質量をそれぞれ $12.000\mathrm{u}$, $31.972\mathrm{u}$、原子質量単位を $1\mathrm{u}=1.6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、プランク定数を $h=6.6261\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$ とする。この分子の結合距離は何 pm か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある異核二原子分子の気体の赤外吸収スペクトルで、$v=0\to 1$ の振動回転遷移を観測した。R 枝の線 $\mathrm{R}(0)$ の波数は $2925.40\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、P 枝の線 $\mathrm{P}(1)$ の波数は $2884.60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ であった。線の波数は、振動の基本波数 ${\tilde{\nu }}_0$ と回転定数 $B$（$v=0$ と $v=1$ で等しいとする）を用いて
$$\mathrm{R}(J)={\tilde{\nu }}_0+2B(J+1),\mathrm{P}(J)={\tilde{\nu }}_0-2BJ$$
で表されるものとする（$J$ は始状態 $v=0$ の回転量子数）。この分子の回転定数 $B$ は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ある分子中のプロトン ${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR シグナルを考える。${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ は、化学的・磁気的に等価な 2 個のプロトン ${\mathrm{H}}_{\mathrm{b}}$ とスピン結合定数 $J_{\mathrm{ab}}=6.0\mathrm{Hz}$ で結合し、さらに化学的・磁気的に等価な 2 個のフッ素原子核 ${}^{19}\mathrm{F}$ とスピン結合定数 $J_{\mathrm{aF}}=12.0\mathrm{Hz}$ で結合している。${}^{19}\mathrm{F}$ の核スピン量子数は $\frac{1}{2}$、天然存在比は $100\%$ とする。${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ はこれら以外の核とは結合しておらず、スペクトルは一次（ファーストオーダー）の規則に従い、各遷移の線幅は十分に細いとする。また、周波数が完全に一致する線は 1 本の線として観測されるものとする。

${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ のシグナルで観測される線の本数と、中央の線の強度が ${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ のシグナル全体の強度に占める割合を、この順に組で求めよ。割合は既約分数で答えよ。

炭素・水素・酸素だけからなる純粋な有機化合物 $\mathrm{A}$ について、次の実験結果を得た。

1. $\mathrm{A}$ $21.93\mathrm{mg}$ を酸素中で完全燃焼させた。生じた二酸化炭素と水をすべて吸収させて質量をはかったところ、$\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ は $66.02\mathrm{mg}$、${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ は $13.51\mathrm{mg}$ であった。
2. 電子イオン化質量スペクトルでは、分子イオンピーク（最も軽い同位体だけからなる分子イオン）が $m/z=146$ に現れた。
3. $\mathrm{A}$ $0.2924\mathrm{g}$ を白金触媒を用いて水素化した。この条件では、分子中のすべての $\pi$ 結合（$\mathrm{C}=\mathrm{C}$、$\mathrm{C}\equiv \mathrm{C}$、$\mathrm{C}=\mathrm{O}$、芳香環の $\pi$ 結合を含む）が完全に飽和される。水素化分解や開環などの副反応は起こらないものとする。このとき吸収された水素の体積は、$25{}^{\circ }\mathrm{C}$、$1.00\times 10^5\mathrm{Pa}$ で $198.3\mathrm{mL}$ であった。

原子量を $\mathrm{C}=12.011$、$\mathrm{H}=1.008$、$\mathrm{O}=15.999$、気体定数を $R=8.314\mathrm{J}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$、$25{}^{\circ }\mathrm{C}=298.15\mathrm{K}$ とし、水素は理想気体とみなす。$\mathrm{A}$ の 1 分子に含まれる環の数を整数で求めよ。