分光学と構造解析の問題

化合物 $\mathrm{CH}{\mathrm{D}}_2-\mathrm{C}{\mathrm{H}}_2-\mathrm{X}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR スペクトルにおける、$\mathrm{CH}{\mathrm{D}}_2$ 基のプロトン（1 個）のシグナルを考える。条件は次のとおりとする。

• このプロトンは、隣の炭素上の化学的・磁気的に等価な 2 個のプロトンとスピン結合定数 $J_{\mathrm{HH}}=6.0\mathrm{Hz}$ で結合する。
• 同じ炭素上の等価な 2 個の重水素 D（核スピン量子数 $I=1$）とスピン結合定数 $J_{\mathrm{HD}}=2.0\mathrm{Hz}$ で結合する。
• それ以外のスピン結合は無視する。スペクトルは一次（ファーストオーダー）として扱い、重水素の四極子による線幅の広がりは無視する。
• 重水素化率は 100% とし、D の各スピン状態の存在確率は等しいとする。周波数がちょうど一致する線は 1 本の線として観測され、その強度は重なった線の強度の和になるものとする。周波数が異なる線はすべて分離して観測されるものとする。

このシグナルで観測される線の数 $N$ と、最も強い線の強度がシグナル全体の強度に占める割合 $f$ を、この順に組 $(N,f)$ で答えよ。$f$ は既約分数で答えよ。

ある分子中のプロトン ${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR シグナルを考える。${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ は、化学的・磁気的に等価な 3 個の重水素核 $\mathrm{D}$（${}^2\mathrm{H}$、核スピン量子数 $I=1$）とだけ、スピン結合定数 $J_{\mathrm{HD}}$（$J_{\mathrm{HD}}>0$）でスピン結合している。スペクトルは一次のスペクトルとして扱い、他の核とのスピン結合は無視する。また、各 $\mathrm{D}$ の 3 つのスピン状態 $m_I=+1,0,-1$ は等しい確率で占有されているとみなす。

このとき、${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ のシグナルは何本かの等間隔の線に分裂する。分裂した各線の強度比を、スペクトルの一方の端の線から順に、最も弱い線の強度を $1$ とする整数の組で答えよ。

${}^{12}{\mathrm{C}}^{16}\mathrm{O}$ 分子の赤外吸収スペクトルで、振動基本音 $(v=0\to 1)$ の回転構造を観測した。$\mathrm{R}$ 枝の $\mathrm{R}(0)$ 線 $(J=0\to J^{\prime }=1)$ は $2146.84\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、$\mathrm{P}$ 枝の $\mathrm{P}(1)$ 線 $(J=1\to J^{\prime }=0)$ は $2139.16\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ に現れた。

分子は調和振動子かつ剛体回転子とみなし、回転定数は $v=0$ と $v=1$ で等しいとする。また、同位体置換によって力の定数と結合距離は変化しないものとする。原子の質量を ${}^{12}\mathrm{C}=12.0000\mathrm{u}$、${}^{13}\mathrm{C}=13.0034\mathrm{u}$、${}^{16}\mathrm{O}=15.9949\mathrm{u}$ とする。

このとき、${}^{13}{\mathrm{C}}^{16}\mathrm{O}$ 分子の振動基本音の $\mathrm{R}(0)$ 線の波数は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ か。有効数字 5 桁で求めよ。

2-クロロプロパン $(\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3{)}_2\mathrm{CHCl}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR スペクトルで、$\mathrm{CH}$ の水素のシグナルは、2 つのメチル基の互いに等価な 6 個の水素核（スピン $\frac{1}{2}$）とだけスピン–スピン結合して分裂し、一次のスペクトル（$n+1$ 則が成り立つ）として観測されるものとする。このシグナルの中央の線の強度は、最も外側の線 1 本の強度の何倍か求めよ。

ジクロロメタン-$d_2$ $\mathrm{C}{\mathrm{D}}_2\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2$ の ${}^{13}\mathrm{C}$ NMR スペクトルで、炭素のシグナルは、互いに等価な 2 個の重水素核 $\mathrm{D}$（核スピン $I=1$）とのスピン–スピン結合によって分裂する。ほかの核との結合による分裂は観測されず、一次のスペクトルとして扱えるものとする。また、$\mathrm{D}$ の核スピンの 3 つの向き（$m_I=+1,0,-1$）は等しい確率で存在するとする。このシグナルは等間隔の何本かの線に分かれる。各線の強度比を最も簡単な整数比で求め、一方の端の線から順に並べた組の形で答えよ（強度比は左右対称になるので、どちらの端から並べてもよい）。