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分光学と構造解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学化学分光学と構造解析

ジクロロメタン- $d_{2}$ $C D_{2} C l_{2}$ の $^{13} C$ NMR スペクトルで、炭素のシグナルは、互いに等価な 2 個の重水素核 $D$ （核スピン $I = 1$ ）とのスピン–スピン結合によって分裂する。ほかの核との結合による分裂は観測されず、一次のスペクトルとして扱えるものとする。また、 $D$ の核スピンの 3 つの向き（ $m_{I} = + 1, 0, - 1$ ）は等しい確率で存在するとする。このシグナルは等間隔の何本かの線に分かれる。各線の強度比を最も簡単な整数比で求め、一方の端の線から順に並べた組の形で答えよ（強度比は左右対称になるので、どちらの端から並べてもよい）。

この問題で使うもの

複数組の結合と核スピン 1 の核による分裂（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

核スピン $I = 1$ の等価な核 $n$ 個による分裂では、線の数は $2 n I + 1$ 本で、強度比は $(1 + x + x^{2})^{n}$ の係数で求められます。

ヒント 2

$D$ 1 個による分裂は強度 $1 : 1 : 1$ の 3 本で、これを $1 + x + x^{2}$ と表します。 $D$ が 2 個あるので 2 乗します。

ヒント 3

線の数は $2 \times 2 \times 1 + 1 = 5$ 本です。 $(1 + x + x^{2})^{2}$ を展開して係数を順に並べましょう。

答えと解説

答えを見る

(1, 2, 3, 2, 1)

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解説を読む

手順 1: 線の数を求める

等価な核 $n$ 個（核スピン $I$ ）による分裂では、線の数は $2 n I + 1$ 本である。 $n = 2$ , $I = 1$ なので
$2 \times 2 \times 1 + 1 = 5 本$

手順 2: 強度比を求める

$D$ 1 個は $m_{I} = + 1, 0, - 1$ の 3 つの状態を等しい確率でとるので、1 個の $D$ による分裂は強度 $1 : 1 : 1$ の 3 本になる。これを多項式 $1 + x + x^{2}$ で表す（ $x$ の指数が線の位置のずれに対応する）。等価な $D$ が 2 個あるので、強度比は $(1 + x + x^{2})^{2}$ の係数で与えられる。
$(1 + x + x^{2})^{2} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 2 x^{3} + x^{4}$

（数え方の確認: 2 個の $m_{I}$ の和 $M = m_{1} + m_{2}$ は $- 2$ から $+ 2$ の 5 通りで、 $M = 0$ となる組合せは $(+ 1, - 1), (0, 0), (- 1, + 1)$ の 3 通り、 $M = \pm 1$ は 2 通りずつ、 $M = \pm 2$ は 1 通りずつである。）

手順 3: 並べる

強度比は端から $1 : 2 : 3 : 2 : 1$ で、左右対称なのでどちらの端から並べても同じである。

答え: $(1, 2, 3, 2, 1)$

別解

2 個の等価な $D$ （ $I = 1$ ）の核スピン状態は $3 \times 3 = 9$ 通りで、合計 $M = m_{I 1} + m_{I 2}$ ごとの状態数は、 $M = + 2$ : (+1,+1) の 1 通り、 $M = + 1$ : (+1,0), (0,+1) の 2 通り、 $M = 0$ : (+1,-1), (0,0), (-1,+1) の 3 通り、 $M = - 1$ : 2 通り、 $M = - 2$ : 1 通り。したがって 5 本の等間隔の線（ $2 n I + 1 = 5$ 本）に分かれ、強度比は $1 : 2 : 3 : 2 : 1$ （合計 9 で一致）。

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