分光学と構造解析の問題

ジクロロメタン-$d_2$ $\mathrm{C}{\mathrm{D}}_2\mathrm{C}{\mathrm{l}}_2$ の ${}^{13}\mathrm{C}$ NMR スペクトルで、炭素のシグナルは、互いに等価な 2 個の重水素核 $\mathrm{D}$（核スピン $I=1$）とのスピン–スピン結合によって分裂する。ほかの核との結合による分裂は観測されず、一次のスペクトルとして扱えるものとする。また、$\mathrm{D}$ の核スピンの 3 つの向き（$m_I=+1,0,-1$）は等しい確率で存在するとする。このシグナルは等間隔の何本かの線に分かれる。各線の強度比を最も簡単な整数比で求め、一方の端の線から順に並べた組の形で答えよ（強度比は左右対称になるので、どちらの端から並べてもよい）。

ある分子中のプロトン ${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR シグナルを考える。${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ は、化学的・磁気的に等価な 2 個のプロトン ${\mathrm{H}}_{\mathrm{b}}$ とスピン結合定数 $J_{\mathrm{ab}}=6.0\mathrm{Hz}$ で結合し、さらに化学的・磁気的に等価な 2 個のフッ素原子核 ${}^{19}\mathrm{F}$ とスピン結合定数 $J_{\mathrm{aF}}=12.0\mathrm{Hz}$ で結合している。${}^{19}\mathrm{F}$ の核スピン量子数は $\frac{1}{2}$、天然存在比は $100\%$ とする。${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ はこれら以外の核とは結合しておらず、スペクトルは一次（ファーストオーダー）の規則に従い、各遷移の線幅は十分に細いとする。また、周波数が完全に一致する線は 1 本の線として観測されるものとする。

${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ のシグナルで観測される線の本数と、中央の線の強度が ${\mathrm{H}}_{\mathrm{a}}$ のシグナル全体の強度に占める割合を、この順に組で求めよ。割合は既約分数で答えよ。

化合物 $\mathrm{CH}{\mathrm{D}}_2-\mathrm{C}{\mathrm{H}}_2-\mathrm{X}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR スペクトルにおける、$\mathrm{CH}{\mathrm{D}}_2$ 基のプロトン（1 個）のシグナルを考える。条件は次のとおりとする。

• このプロトンは、隣の炭素上の化学的・磁気的に等価な 2 個のプロトンとスピン結合定数 $J_{\mathrm{HH}}=6.0\mathrm{Hz}$ で結合する。
• 同じ炭素上の等価な 2 個の重水素 D（核スピン量子数 $I=1$）とスピン結合定数 $J_{\mathrm{HD}}=2.0\mathrm{Hz}$ で結合する。
• それ以外のスピン結合は無視する。スペクトルは一次（ファーストオーダー）として扱い、重水素の四極子による線幅の広がりは無視する。
• 重水素化率は 100% とし、D の各スピン状態の存在確率は等しいとする。周波数がちょうど一致する線は 1 本の線として観測され、その強度は重なった線の強度の和になるものとする。周波数が異なる線はすべて分離して観測されるものとする。

このシグナルで観測される線の数 $N$ と、最も強い線の強度がシグナル全体の強度に占める割合 $f$ を、この順に組 $(N,f)$ で答えよ。$f$ は既約分数で答えよ。

2-クロロプロパン $(\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3{)}_2\mathrm{CHCl}$ の ${}^1\mathrm{H}$ NMR スペクトルで、$\mathrm{CH}$ の水素のシグナルは、2 つのメチル基の互いに等価な 6 個の水素核（スピン $\frac{1}{2}$）とだけスピン–スピン結合して分裂し、一次のスペクトル（$n+1$ 則が成り立つ）として観測されるものとする。このシグナルの中央の線の強度は、最も外側の線 1 本の強度の何倍か求めよ。

一硫化炭素 ${}^{12}{\mathrm{C}}^{32}\mathrm{S}$ 分子を剛体回転子とみなす。この分子のマイクロ波吸収スペクトルでは、回転量子数 $J=1$ から $J=2$ への遷移（$J=2\leftarrow 1$）による吸収が周波数 $97.98\mathrm{GHz}$ に観測された。${}^{12}\mathrm{C}$ と ${}^{32}\mathrm{S}$ の原子質量をそれぞれ $12.000\mathrm{u}$, $31.972\mathrm{u}$、原子質量単位を $1\mathrm{u}=1.6605\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、プランク定数を $h=6.6261\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$ とする。この分子の結合距離は何 pm か。有効数字 3 桁で求めよ。