数理統計の問題

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。なお、$X_1$ の期待値は $E(X_1)=\theta$ である。

クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ に基づく $\theta$ の不偏推定量の分散について、クラメール・ラオの下限を $\theta$ と $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数 $$P(X=k\mid \theta )=\frac{{\theta }^k{e}^{-\theta }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$ のポアソン分布に従う確率変数である。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。1 回の観測で値が $0$ となる確率 $\tau (\theta )=P(X=0\mid \theta )=e^{-\theta }$ を、$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく不偏推定量で推定したい。$\tau (\theta )$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $\theta$ を用いて表せ。ただし、クラメール・ラオの不等式が成り立つための正則条件は満たされているものとする。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$\theta$ と $n$ を用いて求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率関数
$$P(X=x\mid p)=p^x(1-p{)}^{1-x}(x=0,1)$$
のベルヌーイ分布に従う確率変数とする。ここで $0<p<1$ は未知の母数である。$p$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$n$ と $p$ を用いて表せ。

$\theta$ を正の実数（未知の母数）とします。$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数です。各 $X_i$ について
$$E(X_i)=\frac{\theta }{2},V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$$
が成り立つことを用いてかまいません。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{2}{5}\left(X_1+X_2+X_3+X_4\right)$$
を考えます。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\theta {)}^2\right]$ を $\theta$ の式で求めてください。