数理統計の問題

手順 1：同時確率密度関数を書く。
$X_1,X_2,X_3$ は独立で同じ分布に従うので、$x_1,x_2,x_3>0$ のとき
$$f(x_1,x_2,x_3\mid \theta )=\prod _{i=1}^{3}3\theta x_i^2{e}^{-\theta x_i^3}.$$

手順 2：$\theta$ を含む部分と含まない部分に分ける。
指数法則 $e^a{e}^b=e^{a+b}$ を使うと
$$f(x_1,x_2,x_3\mid \theta )=\underset{g(T(x),\theta )}{\underbrace{{\theta }^3{e}^{-\theta (x_1^3+x_2^3+x_3^3)}}}\cdot \underset{h(x)}{\underbrace{27x_1^2{x}_2^2{x}_3^2}}.$$
ここで $g(t,\theta )={\theta }^3{e}^{-\theta t}$ は $\theta$ と $t=x_1^3+x_2^3+x_3^3$ だけで決まり、$h(x)=27x_1^2{x}_2^2{x}_3^2$ は $\theta$ を含まない。

手順 3：分解定理を適用する。
同時確率密度関数が $g(T(x),\theta )h(x)$ の形に分解できたので、分解定理により $T=X_1^3+X_2^3+X_3^3$ は $\theta$ の十分統計量である。よって $k=3$ はこの条件をみたす。

手順 4：$k\ne 3$ では十分統計量にならないことを確かめる。
$S_k(x)=x_1^k+x_2^k+x_3^k$ とおく。もし $S_k$ が十分統計量なら、分解定理より $f(x\mid \theta )=g(S_k(x),\theta )h(x)$ と書けるので、$S_k(x)=S_k(y)$ となる 2 点 $x,y$ では比 $f(x\mid \theta )/f(y\mid \theta )=h(x)/h(y)$ は $\theta$ によらない。
一方、手順 2 より
$$\frac{f(x\mid \theta )}{f(y\mid \theta )}=\frac{x_1^2{x}_2^2{x}_3^2}{y_1^2{y}_2^2{y}_3^2}{e}^{-\theta \{S_3(x)-S_3(y)\}}$$
なので、$S_k(x)=S_k(y)$ かつ $S_3(x)\ne S_3(y)$ となる点があれば、比は $\theta$ に依存し矛盾する。
そのような点は次のように作れる。$p\ne q$, $p,q>0$, $p+q=2$ をとり、$x=(1,1,1)$, $y=(p^{1/k},q^{1/k},1)$ とすると $S_k(x)=S_k(y)=3$ である。$\phi (u)=u^{3/k}$ は $k<3$ なら狭義凸、$k>3$ なら狭義凹なので、イェンセンの不等式より $\phi (p)+\phi (q)\ne 2\phi (1)=2$、すなわち $S_3(y)=p^{3/k}+q^{3/k}+1\ne 3=S_3(x)$ となる。
したがって $k\ne 3$ では $S_k$ は十分統計量ではなく、$k=3$ がただ 1 つの値である。

手順 5：観測値を代入する。
$$T=1^3+2^3+3^3=1+8+27=36.$$

よって答えは $36$ である。

同時密度は $\prod f(x_i\mid \theta )=27{\theta }^3(x_1{x}_2{x}_3{)}^2\exp (-\theta (x_1^3+x_2^3+x_3^3))$ となる。
分解定理より、$\theta$ に依存する部分は ${\theta }^3\exp (-\theta \sum x_i^3)$ で、これは $\sum x_i^3$ を通してのみ標本に依存する。残りの $27(x_1{x}_2{x}_3{)}^2$ は $\theta$ を含まない。よって $k=3$ であり、$T=X_1^3+X_2^3+X_3^3$ は十分統計量である。
観測値は $T=1^3+2^3+3^3=1+8+27=36$。
検算: $1+8=9$、$9+27=36$。