高分子化学の問題

結合数 $n=1.00\times 10^4$、結合長 $l=0.154\mathrm{nm}$ の直鎖状ポリエチレン鎖を、$\Theta$ 条件（理想鎖）で温度 $T=400\mathrm{K}$ において考える。

結合角は四面体角で一定とし、隣り合う結合ベクトルのなす角 $\theta$（結合角の補角）は $\cos \theta =\frac{1}{3}$ を満たす。各内部結合の内部回転角 $\varphi$ はトランス（$\varphi =0^{\circ }$）、ゴーシュ $+$（$\varphi =+120^{\circ }$）、ゴーシュ $-$（$\varphi =-120^{\circ }$）の 3 つの状態のいずれかだけをとる。ゴーシュ状態のエネルギーはトランス状態よりモルあたり $E_g=2.50\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ 高く、各結合の回転状態はボルツマン分布に従い、隣の結合の回転状態とは独立に決まるとする。

このような独立回転障害鎖では、$n$ が十分大きいとき平均二乗末端間距離は次式で与えられる（$\varphi =0$ をトランスとする規約）。
$$⟨R^2⟩=n{l}^2\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }\cdot \frac{1+⟨\cos \varphi ⟩}{1-⟨\cos \varphi ⟩}$$
気体定数を $R=8.314\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ として、この鎖の $⟨R^2⟩$ を $\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ポリエチレンの主鎖を、結合の数 $n=1.00\times 10^3$、結合の長さ $l=0.154\mathrm{nm}$ の自由回転鎖とみなす。隣り合う結合ベクトル ${\mathbf{l}}_i$ と ${\mathbf{l}}_{i+1}$ のなす角を $\theta$ とし、$\cos \theta =\frac{1}{3}$ とする（結合角そのものは $180^{\circ }-\theta$ である）。

$n$ は十分大きいので、自由回転鎖の平均二乗末端間距離は
$$⟨R^2⟩=n{l}^2\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }$$
で表されるとしてよい。この鎖の $⟨R^2⟩$ は何 ${\mathrm{nm}}^2$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

結合数 $n=2000$、結合長 $l=0.154\mathrm{nm}$ の直鎖状の高分子鎖を、自由回転鎖モデルで扱う。このモデルでは、隣り合う結合ベクトルのなす角 $\theta$（結合角の補角）は一定で $\cos \theta =\frac{1}{3}$ であり、各結合のまわりの内部回転は束縛なく自由に起こるとする。$n$ は十分大きいとして、平均二乗末端間距離
$$⟨R^2⟩=n{l}^2\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }$$
を用いてよい。この鎖の $⟨R^2⟩$ を $\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。ただし、排除体積効果は無視する（理想鎖とみなす）。

二本鎖 DNA の短い断片を、持続長 $P=50\mathrm{nm}$、輪郭長 $L=100\mathrm{nm}$ のみみず鎖とみなす。みみず鎖では、鎖に沿った位置 $s$ と $s^{\prime }$ における単位接線ベクトル $\mathbf{u}(s)$, $\mathbf{u}(s^{\prime })$ の相関が
$$⟨\mathbf{u}(s)\cdot \mathbf{u}(s^{\prime })⟩=e^{-|s-s^{\prime }|/P}$$
で表され、平均二乗末端間距離は
$$⟨R^2⟩=2PL-2P^2\left(1-e^{-L/P}\right)$$
となる。この DNA 断片の $⟨R^2⟩$ は何 ${\mathrm{nm}}^2$ か。$e$ を含む正確な値で求めよ。

ある理想的なリビングアニオン重合で得られた高分子では、1 本の鎖の重合度 $X$ が、$X=1+Y$（$Y$ は平均 $\nu =49$ のポアソン分布
$$P(Y=k)=\frac{{\nu }^k{e}^{-\nu }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従う確率変数）で表される。ここで $P$ は鎖の本数の割合（数分布）を表す。

数平均重合度を ${\bar{X}}_n=⟨X⟩$、重量平均重合度を ${\bar{X}}_w=\frac{⟨X^2⟩}{⟨X⟩}$ とするとき、分散度 ${\bar{X}}_w/{\bar{X}}_n$ を既約分数で求めよ。ただし、ポアソン分布の平均と分散がともに $\nu$ であることを用いてよい。