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分析化学の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学化学分析化学

ある水試料に含まれる銅の濃度を、原子吸光法と標準添加法で求める。

試料溶液 $5.00 mL$ ずつを 4 本の $50.0 mL$ メスフラスコにとり、銅の標準溶液（銅として $10.0 mg/L$ ）をそれぞれ $0, 5.00, 10.0, 15.0 mL$ 加えてから、純水で $50.0 mL$ に定容した。各フラスコの溶液の吸光度を測定した結果は次のとおりである。ここで $x$ は、標準溶液を加えたことによって増えたフラスコ内の銅の濃度（ $mg/L$ ）である。

$x (mg/L)$	$0$	$1.00$	$2.00$	$3.00$
吸光度 $y$	$0.121$	$0.199$	$0.281$	$0.359$

吸光度は溶液中の銅の濃度に比例し、試料中のほかの成分の影響は 4 本で同じであるとする。このデータに最小二乗法で直線 $y = a + b x$ をあてはめ、もとの試料溶液中の銅の濃度は何 $mg/L$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

標準添加法（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

標準添加法を使います。直線 $y = a + b x$ の $x$ 切片の絶対値 $a / b$ が、フラスコ内の試料由来の銅の濃度になります。

ヒント 2

最小二乗法で $b = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}$ 、 $a = y ˉ - b x ˉ$ を求めます。最後に、 $5.00 mL$ を $50.0 mL$ にした希釈をさかのぼります。

ヒント 3

$x ˉ = 1.50$ 、 $y ˉ = 0.240$ 、 $\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ) = 0.398$ 、 $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = 5.00$ より $b = 0.0796$ 、 $a = 0.1206$ です。

答えと解説

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15.2

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解説を読む

手順 1: 最小二乗法で直線をあてはめる。

$x$ の平均は $x ˉ = \frac{0 + 1.00 + 2.00 + 3.00}{4} = 1.50$ 、 $y$ の平均は
$y ˉ = \frac{0.121 + 0.199 + 0.281 + 0.359}{4} = \frac{0.960}{4} = 0.240$
である。偏差は
- $x_{i} - x ˉ$ : $- 1.50, - 0.50, 0.50, 1.50$
- $y_{i} - y ˉ$ : $- 0.119, - 0.041, 0.041, 0.119$

なので
$\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ) = 0.1785 + 0.0205 + 0.0205 + 0.1785 = 0.398$
$\sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5.00$
よって傾きと切片は
$b = \frac{0.398}{5.00} = 0.0796, a = y ˉ - b x ˉ = 0.240 - 0.0796 \times 1.50 = 0.1206$

手順 2: $x$ 切片の絶対値から、フラスコ内の試料由来の濃度を求める。

吸光度は濃度に比例するので、 $y = 0$ となる $x$ （ $x$ 切片）は $x = - \frac{a}{b}$ である。標準を加えていないフラスコに試料から入っている銅の濃度は、その絶対値
$\frac{a}{b} = \frac{0.1206}{0.0796} = 1.5150 \dots mg/L$
である。

手順 3: 希釈をさかのぼる。

試料溶液 $5.00 mL$ を $50.0 mL$ に定容しているので、希釈倍率は $\frac{50.0}{5.00} = 10$ 倍である。よってもとの試料溶液中の濃度は
$1.5150 \dots \times 10 = 15.15 \dots mg/L$
有効数字 3 桁で $15.2 mg/L$ である。

別解

$x ˉ = 1.50$ 、 $y ˉ = 0.960/4 = 0.240$ 。 $S_{xx} = (- 1.5)^{2} + (- 0.5)^{2} + 0. 5^{2} + 1. 5^{2} = 5.00$ 。 $S_{x y} = \sum (x - x ˉ) y = (- 1.5) (0.121) + (- 0.5) (0.199) + (0.5) (0.281) + (1.5) (0.359) = 0.398$ 。傾き $b = 0.398/5.00 = 0.0796$ 、切片 $a = 0.240 - 0.0796 \times 1.50 = 0.1206$ 。標準添加法では、 $y = 0$ となる $x = - a / b = - 0.1206/0.0796 = - 1.515$ の絶対値がフラスコ内の試料由来の銅の濃度で、 $1.515 mg/L$ 。試料 $5.00 mL$ を $50.0 mL$ に希釈（10 倍）したので、もとの試料の濃度は $1.515 \times 10 = 15.15 \approx 15.2 mg/L$ 。検算: $x = 1.515$ を足した $x = 0$ のフラスコの吸光度 $a = 0.1206$ が、傾き $0.0796$ と $1.515$ の積 $0.1206$ に一致する。

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