代数的組合せ論の問題

ステップ 1（RS 対応）. ロビンソン・シェンステッド対応により、置換 $w\in S_6$ は、$6$ の分割 $\lambda$ と、形 $\lambda$ の標準ヤング盤の組 $(P,Q)$ と一対一に対応する。したがって形が $\lambda$ になる置換はちょうど $(f^{\lambda }{)}^2$ 個ある。

ステップ 2（シェンステッドの定理）. $w$ の形を $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots )$ とすると、最長増加部分列の長さは ${\lambda }_1$（第 1 行の長さ）、最長減少部分列の長さは $\ell (\lambda )$（行の数）に等しい。よって条件は
$${\lambda }_1=3,\ell (\lambda )=3$$
となる。

ステップ 3（形を列挙）. $6$ の分割で、最大の部分が $3$、部分の個数が $3$ のものを探す。$3+a+b=6$（$3\ge a\ge b\ge 1$）より $a+b=3$ なので $(a,b)=(2,1)$ のみ。よって $\lambda =(3,2,1)$ だけである。

ステップ 4（フック長公式）. $\lambda =(3,2,1)$ のフック長は
- 第 1 行: $5,3,1$
- 第 2 行: $3,1$
- 第 3 行: $1$

なので、その積は $5\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1=45$。よって
$$f^{(3,2,1)}=\frac{6!}{45}=\frac{720}{45}=16.$$

ステップ 5. 求める個数は
$${\left(f^{(3,2,1)}\right)}^2=16^2=256.$$

RSK 対応により、$w\in S_6$ は同じ形 $\lambda ⊢6$ の標準ヤング盤の組 $(P,Q)$ と 1 対 1 に対応する。最長増加部分列の長さは $\lambda$ の第 1 行の長さ ${\lambda }_1$、最長減少部分列の長さは $\lambda$ の行数 $\ell (\lambda )$ に等しい（Schensted の定理）。よって ${\lambda }_1=3$ かつ $\ell (\lambda )=3$ となる $6$ の分割を数える。${\lambda }_1=3$ の分割は $(3,3),(3,2,1),(3,1,1,1)$ で、行数がちょうど 3 のものは $(3,2,1)$ のみ。フック長の公式より $f^{(3,2,1)}=\frac{6!}{5\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1}=\frac{720}{45}=16$。したがって個数は $16^2=256$。検算: $S_6$ の全体は $\sum (f^{\lambda }{)}^2=720$ であり、$(3,2,1)$ の寄与 $256$ は自己共役な形として妥当（他の形 $(3,3)$ は $5^2=25$、$(3,1,1,1)$ は $10^2=100$ など）。