数理統計の問題

確率変数 $X$ は、母数 $\theta >0$ をもつ確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
に従うとする（$0<x<1$ の外では $f(x\mid \theta )=0$）。$X$ を 1 回だけ観測して、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。

ネイマン・ピアソンの補題によって得られる有意水準 $0.1$ の最強力検定の検出力を求めよ。

確率変数 $X$ は、母数 $\theta >0$ をもつ次の確率密度関数の分布に従うとする。$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1),f(x\mid \theta )=0(\text{それ以外})$$ $X$ を 1 回だけ観測し、その値 $x$ を使って、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。ネイマン・ピアソンの補題により、尤度比 $\frac{f(x\mid 2)}{f(x\mid 1)}>k$（$k$ は正の定数）の形の棄却域をもつ検定は最強力検定である。第 1 種の誤りの確率がちょうど $0.1$ となるように $k$ を定めた最強力検定について、その検出力（$H_1$ が正しいときに $H_0$ を棄却する確率）を求めよ。

確率変数 $X$ は、母数 $\theta >0$ をもつ確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
に従うとする（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）。

帰無仮説 $H_0:\theta =1$、対立仮説 $H_1:\theta =3$ を、$X$ の観測値 1 個を用いて検定する。棄却域を $X\ge 0.9$ とする（$X\ge 0.9$ のとき $H_0$ を棄却する）。

この検定の第 1 種の誤りの確率 $\alpha$ と第 2 種の誤りの確率 $\beta$（$H_1$ が正しいときに $H_0$ を棄却しない確率）を求め、$(\alpha ,\beta )$ の順に答えよ。

確率変数 $X$ は、区間 $0<x<1$ 上の確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
をもつ分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数で、$0<x<1$ の外では密度は $0$ とする）。$X$ を $1$ 回だけ観測し、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。棄却域を $X\ge 0.9$ とする（観測値が $0.9$ 以上なら $H_0$ を棄却する）。

この検定の第 $1$ 種の誤りの確率 $\alpha$ と、対立仮説 $\theta =2$ のもとでの検出力を、この順に組 $(\alpha ,\text{検出力})$ で求めよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1),f(x\mid \theta )=0(\text{それ以外})$$
をもつ分布に従うとする。ここで $\theta$ は $\theta >0$ を満たす未知の母数である。$X$ を 1 回だけ観測し、帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定する。棄却域を $X>\frac{4}{5}$ とする（観測値が $\frac{4}{5}$ より大きければ $H_0$ を棄却する）。

この検定の有意水準（第 1 種の誤りの確率）と、$\theta =2$ のときの検出力を、この順に求めよ。