固有関数展開によるグリーン関数

自己共役な境界値問題のグリーン関数を $G (x, x^{'}) = \sum_{n} \frac{ϕ _{n} ( x ) ϕ _{n} ( x ^{'} )}{λ _{n}}$ と固有関数展開で表し、閉じた形のグリーン関数と比べて級数の和や解の値を求められる

前提

自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）

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算数中学高校大学大学院

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境界値問題のグリーン関数（大学数学微分方程式）
自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）

説明

自己共役な境界値問題 $Lu = f$ のグリーン関数 $G (x, x^{'})$ は、閉じた形（同次解をつなぎ合わせた式）でも、固有関数の級数 $G (x, x^{'}) = \sum_{n} \frac{ϕ _{n} ( x ) ϕ _{n} ( x ^{'} )}{λ _{n}}$ でも書けます。同じものを 2 通りに表せるので、両者を等しいとおくと、 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ 型の級数の和が求まったり、逆に解の値を級数で近似したりできます。この技能は、弦やばねの静的なたわみ、熱方程式・波動方程式の解の構成、量子力学の伝播関数（固有状態の和）などに共通する考え方です。

なぜそうしてよいのか

区間 $[a, b]$ 上の実の自己共役な作用素 $L$ （例えば $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ に分離型の境界条件を付けたもの）の固有値問題 $L ϕ_{n} = λ_{n} ϕ_{n}$ を考えます。固有値 $λ_{n}$ は実数で、実数値の固有関数 $ϕ_{n}$ は $\int_{a}^{b} ϕ_{n} ϕ_{m} d x = δ_{nm}$ を満たす正規直交基底にとれます。ここで $0$ は固有値でない（すべての $n$ で $λ_{n} \neq = 0$ ）と仮定します。

$Lu = f$ の解を $u = \sum_{n} c_{n} ϕ_{n}$ と展開し、両辺と $ϕ_{n}$ の内積をとります。 $L$ が自己共役（ $u$ と $ϕ_{n}$ がともに境界条件を満たすので部分積分の境界項が消える）なので $\int ϕ_{n} Lu d x = \int (L ϕ_{n}) u d x = λ_{n} c_{n}$ となり、 $λ_{n} c_{n} = \int ϕ_{n} (x^{'}) f (x^{'}) d x^{'}$ 、すなわち $c_{n} = \frac{1}{λ _{n}} \int ϕ_{n} (x^{'}) f (x^{'}) d x^{'}$ です。これを戻すと
$u (x) = \int_{a}^{b} [n \sum \frac{ϕ _{n} ( x ) ϕ _{n} ( x ^{'} )}{λ _{n}}] f (x^{'}) d x^{'}$
で、一方 $u (x) = \int_{a}^{b} G (x, x^{'}) f (x^{'}) d x^{'}$ がグリーン関数の定義なので、括弧の中が $G (x, x^{'})$ です。直観的には、 $f$ の $n$ 番目の成分を $L$ で「割る」には $λ_{n}$ で割ればよく、グリーン関数はそれを全成分についてまとめたものです。

一方、閉じた形は $L G = δ (x - x^{'})$ を、 $x \neq = x^{'}$ では同次方程式・境界条件を満たし、 $x = x^{'}$ で連続かつ導関数が飛ぶ（ $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ なら $\partial_{x} G$ が $- 1$ だけ飛ぶ）関数として作ります。例えば $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ 、 $u (0) = u (1) = 0$ では $ϕ_{n} = 2 sin nπ x$ 、 $λ_{n} = n^{2} π^{2}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）で、閉じた形は $G (x, x^{'}) = x_{<} (1 - x_{>})$ （ $x_{<} = min (x, x^{'})$ 、 $x_{>} = max (x, x^{'})$ ）です。両者は同じ関数なので、特定の $x, x^{'}$ を代入して比べれば級数の和が得られます。

手順

作用素 $L$ と境界条件を確認し、符号の流儀（ $L G = δ$ で $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ なのか $+ \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ なのか）を決める
固有値問題 $L ϕ_{n} = λ_{n} ϕ_{n}$ を解き、 $\int ϕ_{n}^{2} d x = 1$ となるように規格化する。 $λ_{n} = 0$ がないことを確かめる
固有関数展開を書く: $G (x, x^{'}) = \sum_{n} \frac{ϕ _{n} ( x ) ϕ _{n} ( x ^{'} )}{λ _{n}}$
閉じた形のグリーン関数を作る: 左右の境界条件を満たす同次解をつなぎ、 $x = x^{'}$ で連続、導関数の飛びを $L G = δ$ に合わせる
両者に同じ $x, x^{'}$ を代入して等しいとおき、級数の和や解の値を求める

例題

区間 $[0, 1]$ で $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ 、境界条件 $u (0) = u (1) = 0$ とし、グリーン関数を $- \frac{\partial ^{2} G}{\partial x ^{2}} = δ (x - x^{'})$ 、 $G (0, x^{'}) = G (1, x^{'}) = 0$ で定める。閉じた形 $G (x, x^{'}) = x_{<} (1 - x_{>})$ と固有関数展開を $x = x^{'} = \frac{1}{2}$ で比べることにより、奇数の逆 2 乗和 $k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2}}$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $L = - \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ 、 $L G = δ$ の流儀で、境界条件は両端 $0$ 。

手順 2: $- ϕ^{''} = λ ϕ$ 、 $ϕ (0) = ϕ (1) = 0$ の解は $ϕ_{n} (x) = 2 sin nπ x$ 、 $λ_{n} = n^{2} π^{2}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）。 $\int_{0}^{1} 2 sin^{2} nπ x d x = 1$ で規格化されており、 $λ_{n} > 0$ なので $0$ は固有値でない。

手順 3: $G (x, x^{'}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 s i n nπ x s i n nπ x ^{'}}{n ^{2} π ^{2}}$ 。

手順 4: 閉じた形 $G (x, x^{'}) = x_{<} (1 - x_{>})$ は、 $x < x^{'}$ で $x (1 - x^{'})$ 、 $x > x^{'}$ で $x^{'} (1 - x)$ なので両端で $0$ 、 $x = x^{'}$ で連続で、 $\partial_{x} G$ は $1 - x^{'}$ から $- x^{'}$ へ $- 1$ だけ飛ぶので $- \partial_{x}^{2} G = δ (x - x^{'})$ を満たす。

手順 5: $x = x^{'} = \frac{1}{2}$ を代入すると、閉じた形は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。級数では $sin^{2} \frac{nπ}{2}$ が $n$ 奇数で $1$ 、偶数で $0$ なので
$\frac{1}{4} = \frac{2}{π ^{2}} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2}} .$
よって $k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8}$ 。

答え: $\frac{π ^{2}}{8}$

よくある誤り

規格化していない固有関数をそのまま使い、 $G (x, x^{'}) = \sum_{n} \frac{s i n nπ x s i n nπ x ^{'}}{n ^{2} π ^{2}}$ としてしまう誤り。 $\int_{0}^{1} sin^{2} nπ x d x = \frac{1}{2}$ なので、正しくは規格化した $ϕ_{n} = 2 sin nπ x$ を使って $G = \sum_{n} \frac{2 s i n nπ x s i n nπ x ^{'}}{n ^{2} π ^{2}}$ （係数が $2$ 倍違うと、例題の和が $\frac{π ^{2}}{4}$ と誤って出る）。
作用素の符号を取り違え、 $\frac{d ^{2} G}{d x ^{2}} = δ$ のグリーン関数を $\sum_{n} \frac{ϕ _{n} ϕ _{n}}{n ^{2} π ^{2}}$ としてしまう誤り。 $\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} ϕ_{n} = - n^{2} π^{2} ϕ_{n}$ なので $\frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ の固有値は $λ_{n} = - n^{2} π^{2}$ で、正しくは $G = - \sum_{n} \frac{ϕ _{n} ( x ) ϕ _{n} ( x ^{'} )}{n ^{2} π ^{2}} = - x_{<} (1 - x_{>})$ 。
固有値 $0$ がある問題（例えば $- u^{''}$ に両端で $u^{'} = 0$ の境界条件、 $ϕ_{0} = 1$ 、 $λ_{0} = 0$ ）でも $\sum_{n} \frac{ϕ _{n} ϕ _{n}}{λ _{n}}$ をそのまま書いてしまう誤り。 $n = 0$ の項で $0$ で割ることになり、このとき $L G = δ$ を満たすグリーン関数は存在しない。正しくは $λ_{n} = 0$ がないことを確かめてから使う（ある場合は、その成分を除いた修正グリーン関数などを別に考える）。
閉じた形の $x_{<}$ 、 $x_{>}$ を取り違え、 $G (x, x^{'}) = x (1 - x^{'})$ をすべての $x, x^{'}$ で使ってしまう誤り。これは $x \leq x^{'}$ のときだけの式で、 $x > x^{'}$ では右端の条件を満たす $x^{'} (1 - x)$ に切り替わる。正しくは $G (x, x^{'}) = min (x, x^{'}) (1 - max (x, x^{'}))$ で、 $G (x, x^{'}) = G (x^{'}, x)$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $0 \leq x \leq 1$ での境界値問題
$- \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = f (x), y (0) = y (1) = 0$
を考える。このグリーン関数 $G (x, x^{'})$ （ $- \partial_{x}^{2} G (x, x^{'}) = δ (x - x^{'})$ , $G (0, x^{'}) = G (1, x^{'}) = 0$ をみたすもの）は閉じた形で
$G (x, x^{'}) = {x (1 - x^{'}) x^{'} (1 - x) (0 \leq x \leq x^{'}) (x^{'} \leq x \leq 1)$
と表される。一方、固有値問題 $- ϕ^{''} = λ ϕ$ , $ϕ (0) = ϕ (1) = 0$ の正規直交な固有関数を使って $G$ を固有関数展開で表すこともできる。この 2 つの表し方を $x = x^{'} = \frac{1}{3}$ で比べることにより、無限級数
$S = n = 1 \sum \infty \frac{sin ^{2} ( nπ /3 )}{n ^{2}}$
の値を求めよ。