ドナン平衡と膜電位

透過できない高分子イオンがあるときのドナン平衡 $[N a^{+}]_{α} [C l^{-}]_{α} = [N a^{+}]_{β} [C l^{-}]_{β}$ と電気的中性・物質収支から各区画のイオン濃度を求め、膜電位を求められる

前提

濃淡電池（大学化学電気化学）
物質収支と電荷収支（大学化学溶液内の平衡）

この技能までの道筋（134 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
気体の発生方法・性質・集め方（中学理科化学分野の用語と知識）
分解と化合（化学変化の種類）（中学理科化学分野の用語と知識）
酸化と還元（中学理科化学分野の用語と知識）
イオンと電離・電解質（中学理科化学分野の用語と知識）
酸化・還元の定義（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
化学電池と金属のイオンへのなりやすさ（中学理科化学分野の用語と知識）
金属のイオン化傾向と水・酸との反応（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
電池のしくみとダニエル電池（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
酸化数と酸化・還元の判定（高校化学酸化還元と電池・電気分解（知識））
電子を含むイオン反応式（半反応式）（高校化学酸化還元と電池・電気分解）
電池式と標準起電力（大学化学電気化学）
化学変化と熱・質量保存の法則（中学理科化学分野の用語と知識）
原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
気体の体積と物質量（高校化学物質量と化学反応式）
化学反応式の係数（中学理科化学変化と原子・分子）
化学反応式と量的関係（高校化学物質量と化学反応式）
反応エンタルピーと反応式（高校化学化学反応とエネルギー）
ヘスの法則（高校化学化学反応とエネルギー）
生成エンタルピー・燃焼エンタルピーと反応エンタルピー（高校化学化学反応とエネルギー）
標準反応エンタルピーと標準反応エントロピー（大学化学化学熱力学）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体分子運動論（高校物理熱と気体）
理想気体の内部エネルギー（高校物理熱と気体）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
気体がする仕事と p-V 図（高校物理熱と気体）
熱力学第一法則（高校物理熱と気体）
等温変化と断熱変化（高校物理熱と気体）
定積変化・定圧変化とモル比熱（高校物理熱と気体）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
理想気体の等温・断熱変化の仕事と熱（大学化学化学熱力学）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
ボイル・シャルルの法則と理想気体（高校物理熱と気体（知識））
気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
熱力学第一法則（高校物理熱と気体（知識））
熱機関と熱効率（高校物理熱と気体（知識））
可逆変化・不可逆変化と熱力学第二法則（高校物理熱と気体（知識））
理想気体のエントロピー変化（大学化学化学熱力学）
系と外界の全エントロピー変化（大学化学化学熱力学）
ギブズエネルギーと反応の自発性（大学化学化学熱力学）
モル濃度（高校化学物質量と化学反応式）
濃度平衡定数（高校化学化学平衡）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
平衡定数から平衡時の量を求める（高校化学化学平衡）
つながれた容器の気体（高校化学物質の状態と気体）
混合気体の分圧とモル分率（高校化学物質の状態と気体）
圧平衡定数と分圧（高校化学化学平衡）
標準ギブズエネルギー変化と平衡定数（大学化学化学熱力学）
反応ギブズエネルギーと反応商（大学化学化学熱力学）
酸・アルカリと中和・指示薬（中学理科化学分野の用語と知識）
酸・塩基の価数と強弱（高校化学酸と塩基）
強酸・強塩基の水素イオン濃度と水のイオン積（高校化学酸と塩基）
pH の計算（高校化学酸と塩基）
電池の起電力と反応商（大学化学電気化学）
濃淡電池（大学化学電気化学）
弱酸・弱塩基の電離平衡と pH （高校化学化学平衡）
物質収支と電荷収支（大学化学溶液内の平衡）

説明

小さなイオン（ $N a^{+}$ , $C l^{-}$ など）は通すが、タンパク質や高分子電解質のような大きなイオンは通さない膜で溶液を仕切ると、小さなイオンは両側で均一にはならず、偏った分布で平衡に達します。これをドナン平衡といいます。この技能では、ドナン平衡の条件 $[N a^{+}]_{α} [C l^{-}]_{α} = [N a^{+}]_{β} [C l^{-}]_{β}$ と、各区画の電気的中性・物質収支を連立して各イオンの濃度を求め、そのとき膜の両側に生じる電位差（ドナン電位）を求めます。細胞の膜電位、透析、イオン交換樹脂の中のイオン分布などを考えるときの基本になります。

なぜそうしてよいのか

膜の左側を区画 $α$ 、右側を区画 $β$ とし、 $α$ には膜を通れない陰イオン性の高分子があるとします。 $N a^{+}$ も $C l^{-}$ も膜を通れるので、平衡ではどちらのイオンについても「濃度差で移ろうとする傾向」と「電位差で押し戻される傾向」がつり合っています。これは、膜をはさむ 1 種類のイオンのネルンスト電位の条件そのものです。 $N a^{+}$ （ $z = + 1$ ）と $C l^{-}$ （ $z = - 1$ ）のそれぞれについて書くと $ϕ_{α} - ϕ_{β} = \frac{R T}{F} lo g \frac{[ N a ^{+} ] _{β}}{[ N a ^{+} ] _{α}} = - \frac{R T}{F} lo g \frac{[ C l ^{-} ] _{β}}{[ C l ^{-} ] _{α}}$ です（活量係数を 1 とする）。膜の電位差は 1 つしかないので、この 2 つの式は同じ値でなければなりません。右の等式を整理すると $\frac{[ N a ^{+} ] _{β}}{[ N a ^{+} ] _{α}} = \frac{[ C l ^{-} ] _{α}}{[ C l ^{-} ] _{β}} ⟺ [N a^{+}]_{α} [C l^{-}]_{α} = [N a^{+}]_{β} [C l^{-}]_{β}$ が得られます。電気的に中性な $NaCl$ を一方から他方へ移しても電気的な仕事はいらないので、 $NaCl$ としての「濃さ」 $[N a^{+}] [C l^{-}]$ が両側で等しくなる、と考えることもできます。

この条件だけでは未知数が多すぎるので、各区画の電気的中性（区画内の正電荷の濃度の和と負電荷の濃度の和が等しい）と、両区画を合わせた物質収支を加えて連立します。 $α$ には高分子の負電荷があるので、中性を保つには $N a^{+}$ が多く $C l^{-}$ が少なくなります。積が等しいという条件と合わせると、 $α$ で $[N a^{+}]$ が大きく、 $β$ より $N a^{+}$ の多い分だけ $α$ の電位が低くなります。こうして $N a^{+}$ の多い側が負になる電位差がドナン電位です。

手順

区画 $α$ , $β$ の初めの組成を書き、膜を通れるイオンと通れないイオンを区別する（高分子の負電荷の濃度は、高分子の濃度 × 1 分子あたりの電荷数）
移動する量を未知数にとる。例えば $β$ から $α$ へ $NaCl$ が濃度にして $x$ だけ移るとし（電気的中性を保つため $N a^{+}$ と $C l^{-}$ は同じ量ずつ移る）、各イオンの濃度を $x$ で表す。区画の体積が異なるときは物質量で収支をとる
ドナン平衡の条件 $[N a^{+}]_{α} [C l^{-}]_{α} = [N a^{+}]_{β} [C l^{-}]_{β}$ に代入して $x$ を求める（ $0 < x$ で、どの濃度も負にならない解を選ぶ）
各区画のイオン濃度を求め、電気的中性が成り立っていることを確かめる
膜電位は $N a^{+}$ のネルンスト電位として $ϕ_{α} - ϕ_{β} = \frac{R T}{F} lo g \frac{[ N a ^{+} ] _{β}}{[ N a ^{+} ] _{α}}$ で求める（ $C l^{-}$ で計算しても同じ値になる）

例題

体積の等しい 2 つの区画 $α$ , $β$ を、 $N a^{+}$ と $C l^{-}$ は通すが高分子は通さない膜で仕切る。初めに $α$ には、膜を通れない高分子陰イオンの負電荷が $0.100 mol L^{- 1}$ 分と、その対イオンの $N a^{+}$ が $0.100 mol L^{- 1}$ 含まれ、 $β$ には $0.100 mol L^{- 1}$ の NaCl 水溶液が入っている。区画の体積は変わらず、活量係数は 1 とする。ドナン平衡に達したときの区画 $α$ の $C l^{-}$ の濃度（ $mol L^{- 1}$ ）を分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: 初め、 $α$ : $[N a^{+}] = 0.100$ 、高分子の負電荷 $0.100$ 、 $[C l^{-}] = 0$ 。 $β$ : $[N a^{+}] = [C l^{-}] = 0.100$ （単位 $mol L^{- 1}$ ）。 $N a^{+}$ と $C l^{-}$ は膜を通れ、高分子は通れない。

手順 2: $β$ から $α$ へ NaCl が $x$ だけ移るとすると（体積が等しいので濃度の変化も等しい）
$α$ : $[N a^{+}]_{α} = 0.100 + x$ 、 $[C l^{-}]_{α} = x$
$β$ : $[N a^{+}]_{β} = [C l^{-}]_{β} = 0.100 - x$

手順 3: $(0.100 + x) x = (0.100 - x)^{2}$ $0.100 x + x^{2} = 0.0100 - 0.200 x + x^{2} \Rightarrow 0.300 x = 0.0100 \Rightarrow x = \frac{1}{30}$ これは $0 < x < 0.100$ を満たす。

手順 4: $[N a^{+}]_{α} = \frac{2}{15}$ 、 $[C l^{-}]_{α} = \frac{1}{30}$ 、 $[N a^{+}]_{β} = [C l^{-}]_{β} = \frac{1}{15}$ 。 $α$ の中性: $\frac{2}{15} = \frac{1}{30} + 0.100 = \frac{4}{30}$ で成り立つ。

（参考: 手順 5 より、膜電位は $ϕ_{α} - ϕ_{β} = \frac{R T}{F} lo g \frac{1/15}{2/15} = - \frac{R T}{F} lo g 2$ で、 $N a^{+}$ の多い $α$ 側が負になる。）

答えは $[C l^{-}]_{α} = \frac{1}{30} mol L^{- 1}$ 。

答え: $\frac{1}{30}$

よくある誤り

膜を通れるイオンは両側で同じ濃度になると考え、 $[C l^{-}]_{α} = [C l^{-}]_{β}$ や $[N a^{+}]_{α} = [N a^{+}]_{β}$ としてしまう誤り。高分子の電荷があるので電気的中性と両立せず、正しくは積が等しい $[N a^{+}]_{α} [C l^{-}]_{α} = [N a^{+}]_{β} [C l^{-}]_{β}$ が平衡条件。
$N a^{+}$ と $C l^{-}$ が別々の量だけ移ると考えて未知数を 2 つおき、条件が足りなくなる（あるいは電気的中性が崩れた答えを出す）誤り。各区画は中性を保つので、正しくは $N a^{+}$ と $C l^{-}$ は同じ物質量 $x$ ずつ移る（例題では $α$ で $[N a^{+}]_{α} = 0.100 + x$ 、 $[C l^{-}]_{α} = x$ ）。
高分子 1 分子が複数の電荷をもつのに、高分子の濃度をそのまま負電荷の濃度として中性の式に入れてしまう誤り。例えば電荷数 $z$ の高分子が濃度 $c_{P}$ なら、正しくは $[N a^{+}]_{α} = [C l^{-}]_{α} + z c_{P}$ 。
膜電位の符号を逆にして $ϕ_{α} - ϕ_{β} = \frac{R T}{F} lo g \frac{[ N a ^{+} ] _{α}}{[ N a ^{+} ] _{β}}$ としてしまう誤り。陽イオンが多い側ほど電位は低くなっていないと平衡にならないので、正しくは $ϕ_{α} - ϕ_{β} = \frac{R T}{F} lo g \frac{[ N a ^{+} ] _{β}}{[ N a ^{+} ] _{α}}$ （例題では $- \frac{R T}{F} lo g 2 < 0$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$N a^{+}$ と $C l^{-}$ は通すが高分子イオンは通さない膜で、体積の等しい 2 つの区画 $α$ , $β$ を仕切った。はじめ、区画 $α$ には高分子電解質のナトリウム塩 $Na_{z} P$ （ $P^{z -}$ は膜を通らない高分子陰イオン）を、 $N a^{+}$ の濃度が $0.200 mol L^{- 1}$ となるように溶かし、区画 $β$ には $0.100 mol L^{- 1}$ の $NaCl$ 水溶液を入れた。はじめ区画 $α$ に $C l^{-}$ はない。
一定温度でドナン平衡に達したとき、区画 $α$ の $N a^{+}$ の濃度は何 $mol L^{- 1}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、活量係数は 1 とし、水の移動による体積変化は無視する。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
温度 $298.15 K$ で、体積 $V_{α} = 1.00 L$ の区画 $α$ と体積 $V_{β} = 2.00 L$ の区画 $β$ を半透膜で仕切る。
- 区画 $α$ には、はじめに高分子電解質のナトリウム塩だけを溶かしてある。高分子に固定された 1 価の陰イオン基の濃度は $0.100 mol L^{- 1}$ 、その対イオン $N a^{+}$ の濃度も $0.100 mol L^{- 1}$ で、 $C l^{-}$ は含まない。
- 区画 $β$ には、はじめに $0.100 mol L^{- 1}$ の $NaCl$ 水溶液が入っている。
膜は $N a^{+}$ と $C l^{-}$ をよく透過させるが、高分子イオンは透過させない。水の移動による体積変化は無視し、両区画の体積は一定とする。活量係数はすべて $1$ とみなし、活量はモル濃度（ $mol L^{- 1}$ ）の数値で表す。各区画の内部では電気的中性が成り立つとする。
系がドナン平衡に達したときの膜電位 $Δ ϕ = ϕ_{α} - ϕ_{β}$ は何 $mV$ か。有効数字 3 桁で求めよ。ただし、気体定数 $R = 8.314 J K^{- 1} mo l^{- 1}$ 、ファラデー定数 $F = 96485 C mo l^{- 1}$ とする。