統計熱力学の問題

互いに相互作用しない $N$ 個の同じ分子からなる系が、温度 $T$ で熱平衡にある。各分子は、エネルギー $0$ の準位とエネルギー $\epsilon$（$\epsilon >0$）の準位の 2 つだけをもち、どちらの準位も縮退していない。分子分配関数は
$$q=1+e^{-\epsilon /k_{\mathrm{B}}T}$$
である（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）。

$$U=N{k}_{\mathrm{B}}{T}^2{\left(\frac{\partial \log q}{\partial T}\right)}_V$$
を用いて、この系の内部エネルギー $U$（エネルギー $0$ の準位を基準とする）を $N$, $\epsilon$, $k_{\mathrm{B}}$, $T$ を用いて表せ。

ある二原子分子の振動を調和振動子とみなす。振動準位のエネルギーは $E_v=h\nu \left(v+\frac{1}{2}\right)$（$v=0,1,2,\dots$）で、各準位は縮退していない。振動温度を ${\Theta }_{\mathrm{vib}}=\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）とする。

温度 $T$ において ${\Theta }_{\mathrm{vib}}=T\log 3$ が成り立っているとき、基底準位 $v=0$ のエネルギーを $0$ とする基準（零点エネルギーを差し引いた基準）での振動の分配関数
$$q_{\mathrm{vib}}=\sum _{v=0}^{\infty }{e}^{-vh\nu /k_{\mathrm{B}}T}$$
の値を分数で求めよ。

結晶の格子点に固定された 1 mol（$N_{\mathrm{A}}$ 個）の原子を考える。原子は格子点の位置で区別でき、互いに相互作用しない。各原子は、エネルギー $0$ の準位とエネルギー $\epsilon$ の準位の 2 つだけをもち（どちらも縮退していない）、温度 $T$ において $\epsilon =k_{\mathrm{B}}T\log 3$ が成り立っている（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）。

この系の 1 mol あたりの内部エネルギーは $U=\frac{N_{\mathrm{A}}\epsilon e^{-\epsilon /k_{\mathrm{B}}T}}{q}$（$q$ は分子分配関数、エネルギー $0$ の準位を基準）である。区別できる粒子のエントロピーの式
$$S=\frac{U}{T}+N{k}_{\mathrm{B}}\log q$$
を用いて、この温度におけるモルエントロピー $S_{\mathrm{m}}$ を、気体定数 $R=N_{\mathrm{A}}{k}_{\mathrm{B}}$ を用いて表せ。

体積 $V=1.00\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ の容器に入れたヘリウム原子 1 個の、温度 $T=300\mathrm{K}$ における並進の分配関数
$$q_{\mathrm{trans}}=V{\left(\frac{2\pi m{k}_{\mathrm{B}}T}{h^2}\right)}^{3/2}$$
の値を有効数字 3 桁で求めよ。ただし、ヘリウム原子 1 個の質量を $m=6.64\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、ボルツマン定数を $k_{\mathrm{B}}=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$、プランク定数を $h=6.63\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、円周率を $\pi =3.1416$ とする。

等核二原子分子 X${}_2$ を剛体回転子とみなす。この分子の回転定数は $\tilde{B}=1.39\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$、対称数は $\sigma =2$ である。温度 $T=300\mathrm{K}$ では高温近似が成り立つものとし、回転の分配関数を
$$q_{\mathrm{rot}}=\frac{k_{\mathrm{B}}T}{\sigma hc\tilde{B}}$$
で計算する。ここで $\frac{k_{\mathrm{B}}}{hc}=0.695\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$h$ はプランク定数、$c$ は光速）とする。$T=300\mathrm{K}$ における $q_{\mathrm{rot}}$ を有効数字 3 桁で求めよ。